Матрица Лемера

Матрица Лемера

12.11.2020

В математике, особенно в теории матриц, n×n-матрица Лемера (названа в честь Деррика Генри Лемера) это постоянная симметричная матрица определяемая как:

A i j = { i / j , j ≥ i j / i , j < i . {displaystyle A_{ij}={egin{cases}i/j,&jgeq ij/i,&j<i.end{cases}}}

Эквивалентно можно записать:

A i j = min ( i , j ) max ( i , j ) . {displaystyle A_{ij}={frac {{mbox{min}}(i,j)}{{mbox{max}}(i,j)}}.}

Свойства

Если A n×n-матрица Лемера, а B m×m-матрица Лемера, то A является подматрицей матрицы B при m>n. Значения элементов матрицы уменьшаются при удалении от главной диагонали, элементы которой равны 1.

Интересно, что обратная к матрице Лемера матрица является трёхдиагональной, где наддиагональ и поддиагональ имеют строго отрицательные элементы. Снова рассмотрим матрицы Лемера A и B (n×n и m×m, соответственно, где m>n). Существенной особенностью их обратных является то, что A-1 отличается от подматрицы матрицы B-1 только элементом An,n, остальные же элементы равны.

След n×n-матрицы Лемера равен n.

Примеры

2×2, 3×3 и 4×4-матрицы Лемера и их обратные приведены ниже:

A 2 = ( 1 1 / 2 1 / 2 1 ) ; A 2 − 1 = ( 4 / 3 − 2 / 3 − 2 / 3 4 / 3 ) ; A 3 = ( 1 1 / 2 1 / 3 1 / 2 1 2 / 3 1 / 3 2 / 3 1 ) ; A 3 − 1 = ( 4 / 3 − 2 / 3 − 2 / 3 32 / 15 − 6 / 5 − 6 / 5 9 / 5 ) ; A 4 = ( 1 1 / 2 1 / 3 1 / 4 1 / 2 1 2 / 3 1 / 2 1 / 3 2 / 3 1 3 / 4 1 / 4 1 / 2 3 / 4 1 ) ; A 4 − 1 = ( 4 / 3 − 2 / 3 − 2 / 3 32 / 15 − 6 / 5 − 6 / 5 108 / 35 − 12 / 7 − 12 / 7 16 / 7 ) . {displaystyle {egin{array}{lllll}A_{2}={egin{pmatrix}1&1/21/2&1end{pmatrix}};&A_{2}^{-1}={egin{pmatrix}4/3&-2/3-2/3&{color {BrickRed}mathbf {4/3} }end{pmatrix}};\A_{3}={egin{pmatrix}1&1/2&1/31/2&1&2/31/3&2/3&1end{pmatrix}};&A_{3}^{-1}={egin{pmatrix}4/3&-2/3&-2/3&32/15&-6/5&-6/5&{color {BrickRed}mathbf {9/5} }end{pmatrix}};\A_{4}={egin{pmatrix}1&1/2&1/3&1/41/2&1&2/3&1/21/3&2/3&1&3/41/4&1/2&3/4&1end{pmatrix}};&A_{4}^{-1}={egin{pmatrix}4/3&-2/3&&-2/3&32/15&-6/5&&-6/5&108/35&-12/7&&-12/7&{color {BrickRed}mathbf {16/7} }end{pmatrix}}.end{array}}}