Теорема Крылова — Боголюбова

Теорема Крылова — Боголюбова

13.11.2020

Теорема Крылова — Боголюбова — утверждает существование инвариантных мер у «хороших» отображений, определённых на «хороших» пространствах. Существуют две вариации теоремы, для динамических систем и для марковских процессов

Теорема доказана математиком Н. М. Крыловым и физиком-теоретиком, математиком Н. Н. Боголюбовым. (переиздано в).

Динамическая формулировка

Пусть F {displaystyle F} — непрерывное отображение метрического компакта X {displaystyle X} в себя. Тогда на X {displaystyle X} существует хотя бы одна F {displaystyle F} -инвариантная мера μ {displaystyle mu } которая может быть выбрана таким образом, что она будет неразложимой, или эргодической.

Замечания

  • Условие F {displaystyle F} -инвариантности, F ∗ μ = μ {displaystyle F_{*}mu =mu } , означает, что мера прообраза любого борелевского множества равна мере этого множества, ∀ A ∈ B ( X ) μ ( F − 1 ( A ) ) = μ ( A ) ; {displaystyle forall Ain {mathcal {B}}(X)quad mu (F^{-1}(A))=mu (A);}
при этом в случае необратимого отображения F {displaystyle F} мера F ( A ) {displaystyle F(A)} не обязана равняться мере A {displaystyle A} .
  • Например, мера Лебега инвариантна для удвоения окружности x ↦ 2 x mod 1 {displaystyle xmapsto 2xmod 1} , однако мера дуги [ 0 , 1 3 ] {displaystyle left[0,{frac {1}{3}} ight]} не равна мере её образа, дуги [ 0 , 2 3 ] {displaystyle left[0,{frac {2}{3}} ight]} .

Доказательство

Доказательство теоремы опирается на так называемую процедуру Крылова — Боголюбова — процедуру выделения сходящейся подпоследовательности из последовательности временных средних произвольной начальной меры.

А именно, берётся произвольная начальная мера μ 0 {displaystyle mu _{0}} , и рассматривается последовательность её временных средних:

μ ¯ n = 1 n ∑ j = 0 n − 1 F ∗ j ( μ 0 ) . {displaystyle {ar {mu }}_{n}={frac {1}{n}}sum _{j=0}^{n-1}F_{*}^{j}(mu _{0}).}

Временные средние являются всё более и более F {displaystyle F} -инвариантными:

F ∗ μ ¯ n = μ ¯ n + 1 n ( F ∗ n ( μ 0 ) − μ 0 ) . {displaystyle F_{*}{ar {mu }}_{n}={ar {mu }}_{n}+{frac {1}{n}}(F_{*}^{n}(mu _{0})-mu _{0}).}

Поэтому предел любой сходящейся подпоследовательности последовательности временных средних является инвариантной мерой для отображения F {displaystyle F} . Но пространство вероятностных мер на метрическом компакте F {displaystyle F} компактно (в смысле *-слабой топологии), поэтому по меньшей мере одна точка накопления у последовательности μ ¯ n {displaystyle {ar {mu }}_{n}} найдётся — что и завершает доказательство. ■

Замечания

  • В случае, если в качестве меры μ 0 {displaystyle mu _{0}} берётся мера Дирака (сосредоточенная в типичной начальной точке) или мера Лебега, сходимость последовательности μ ¯ n {displaystyle {ar {mu }}_{n}} соответствует существованию меры Синая — Рюэлля — Боуэна.

Формулировка для марковских процессов

Пусть X — польское пространство и пусть (Pt) — семейство вероятностей перехода некоторой однородной марковской полугруппы на X, то есть

Pr [ X t ∈ A | X 0 = x ] = P t ( x , A ) . {displaystyle Pr[X_{t}in A|X_{0}=x]=P_{t}(x,A).}

Если существует x ∈ X {displaystyle xin X} , для которого семейство вероятностных мер { Pt(x, ·) | t > 0 } uniformly tight и полугруппа (Pt) удовлетворяет Feller property, то существует по крайней мере одна инвариантная мера для (Pt), то есть такая вероятностная мера μ на X, что

( P t ) ∗ ( μ ) = μ , ∀ t > 0. {displaystyle (P_{t})_{ast }(mu )=mu ,quad forall t>0.}

Вариации и обобщения

  • Точно такие же рассуждения, только связанные с усреднением по последовательности Фёльнера, позволяют доказать, что для любого непрерывного действия аменабельной группы на метрическом компакте найдётся инвариантная относительно этого действия мера.