Плазменные волны в графене

Как и в обычных полупроводниках, в графене электронно-дырочный газ можно рассматривать как плазму, и, соответственно, ставить вопрос о том, какие волны могут наблюдаться в твёрдом теле. Благодаря отличию закона дисперсии от параболического ожидается, что и свойства волн будут другими. Плазменные волны в ДЭГ в графене теоретически рассматривались в работе .

Вывод

Кинетическое уравнение для электронов в графене в бесстолкновительном приближении запишется в виде

∂ f ∂ t + v p ∂ f ∂ r + e ∂ ϕ ∂ r ∂ f ∂ p = 0. ( 4.1 ) {displaystyle {frac {partial f}{partial t}}+mathbf {v} _{p}{frac {partial f}{partial mathbf {r} }}+e{frac {partial phi }{partial mathbf {r} }}{frac {partial f}{partial mathbf {p} }}=0.qquad (4.1)}

Здесь функция распределения электронов f = f ( r , p , t ) {displaystyle f=f(mathbf {r} ,mathbf {p} ,t)} зависит от координат, импульсов и времени. ϕ = ϕ ( r , t ) {displaystyle phi =phi (mathbf {r} ,t)} — потенциал создаваемый ДЭГ. Так как графен двумерная система, то вектор импульса имеет только две координаты p = ( p x , p y ) {displaystyle mathbf {p} =(p_{x},p_{y})} . Также скорость электронов задаётся формулой v p = v F p p {displaystyle mathbf {v} _{mathbf {p} }=v_{F}{frac {mathbf {p} }{p}}} , где p = | p | {displaystyle p=|mathbf {p} |} .

Уравнение Пуассона, которое связывает концентрацию и распределение потенциала в графене, можно свести к уравнению

V g − ϕ W g = 4 π e ε Σ , ( 4.2 ) {displaystyle {frac {V_{g}-phi }{W_{g}}}={frac {4pi e}{varepsilon }}Sigma ,qquad (4.2)}

где V g {displaystyle V_{g}} — приложенное напряжение на затворе, которым можно управлять концентрацией, W g {displaystyle W_{g}} — толщина диэлектрика с диэлектрической проницаемостью ε {displaystyle varepsilon } , а концентрация электронов Σ {displaystyle Sigma } задаётся по формуле

Σ = g s g v ( 2 π ℏ ) 2 ∫ d 2 p f , ( 4.3 ) {displaystyle Sigma ={frac {g_{s}g_{v}}{(2pi hbar )^{2}}}int {d^{2}mathbf {p} f},qquad (4.3)}

которая аналогична выражению (3.3).

Совместное решение уравнений (4.1) и (4.2) в виде плоских даёт ответ на вопрос о плазменных волнах в графене.

Решение уравнения (4.1) ищется в виде

f ( r , p , t ) = f 0 + δ f ( p ) e i ( k x − ω t ) , ( 4.4 ) {displaystyle f(mathbf {r} ,mathbf {p} ,t)=f_{0}+delta f(p)e^{i(kx-omega t)},qquad (4.4)}

где к равновесной функции распределения (распределение Ферми — Дирака) добавляется малая поправка в виде плоской волны ( | δ f | ≪ f 0 {displaystyle |delta f|ll f_{0}} ). Потенциал также является малым возмущением (по сравнению с V g {displaystyle V_{g}} )

ϕ ( r , t ) = δ ϕ e i ( k x − ω t ) . ( 4.5 ) {displaystyle phi (mathbf {r} ,t)=delta phi e^{i(kx-omega t)}.qquad (4.5)}

При подстановки решений (4.4) и (4.5) в (4.1) и (4.2) приходим к уравнениям на δ f ( p ) {displaystyle delta f(p)} и δ ϕ {displaystyle delta phi } с точностью до первого порядка малости

( k v F p x p − ω ) δ f = − e k ∂ f 0 ∂ p x δ ϕ , ( 4.6 ) {displaystyle left(kv_{F}{frac {p_{x}}{p}}-omega ight)delta f=-ek{frac {partial f_{0}}{partial p_{x}}}delta phi ,qquad (4.6)} δ ϕ = − 2 e W g π ε ℏ 2 ∫ d 2 p f . ( 4.7 ) {displaystyle delta phi =-{frac {2eW_{g}}{pi varepsilon hbar ^{2}}}int {d^{2}mathbf {p} f}.qquad (4.7)}

Эти уравнения легко решаются если электронный газ вырожден, то есть k B T ≪ E F {displaystyle k_{B}Tll E_{F}} . Для ω > v F k {displaystyle omega >v_{F}k} получим линейное дисперсионное соотношение для плазменных волн в графене

ω = k v F 1 − ( α α + 1 ) 2 = k s , ( 4.7 ) {displaystyle omega ={frac {kv_{F}}{sqrt {1-left({frac {alpha }{alpha +1}} ight)^{2}}}}=ks,qquad (4.7)}

где

α = 4 g s g v e 3 W g V g ε ℏ 2 v F 2 . ( 4.8 ) {displaystyle alpha ={sqrt {frac {4g_{s}g_{v}e^{3}W_{g}V_{g}}{varepsilon hbar ^{2}v_{F}^{2}}}}.qquad (4.8)} .

Фазовая и групповая скорости равны

s = v F 1 − ( α α + 1 ) 2 . ( 4.9 ) {displaystyle s={frac {v_{F}}{sqrt {1-left({frac {alpha }{alpha +1}} ight)^{2}}}}.qquad (4.9)}

Учёт конечных температур и, соответственно, термически возбуждённых дырок рассмотрен в работе .