Главная
Новости
Строительство
Ремонт
Дизайн и интерьер
Полезные советы




19.04.2021


18.04.2021


18.04.2021


18.04.2021


18.04.2021





Яндекс.Метрика





Фильтр с бесконечной импульсной характеристикой

14.12.2020

Фильтр с бесконечной импульсной характеристикой (Рекурсивный фильтр, БИХ-фильтр) или IIR-фильтр (IIR сокр. от infinite impulse response — бесконечная импульсная характеристика) — линейный электронный фильтр, использующий один или более своих выходов в качестве входа, то есть образующий обратную связь. Основным свойством таких фильтров является то, что их импульсная переходная характеристика имеет бесконечную длину во временной области, а передаточная функция имеет дробно-рациональный вид. Такие фильтры могут быть как аналоговыми, так и цифровыми.

Примерами БИХ-фильтров являются фильтр Чебышёва, фильтр Баттерворта, Фильтр Калмана и фильтр Бесселя.

Описание

Динамические характеристики

Разностное уравнение, описывающее дискретный БИХ-фильтр, устанавливает связь между входным и выходным сигналами во временной области:

y ( n ) = b 0 x ( n ) + b 1 x ( n − 1 ) + ⋯ + b P x ( n − P ) − a 1 y ( n − 1 ) − a 2 y ( n − 2 ) − ⋯ − a Q y ( n − Q ) {displaystyle y(n)=b_{0}x(n)+b_{1}x(n-1)+cdots +b_{P}x(n-P)-a_{1}y(n-1)-a_{2}y(n-2)-cdots -a_{Q}y(n-Q)}

где P {displaystyle P} порядок входного сигнала, b i {displaystyle b_{i}} — коэффициенты входного сигнала, Q {displaystyle Q} — порядок обратной связи, a i {displaystyle a_{i}} — коэффициенты обратной связи, x ( n ) {displaystyle x(n)} — входной, а y ( n ) {displaystyle y(n)} — выходной сигналы.

Более компактная запись разностного уравнения:

y ( n ) = ∑ i = 0 P b i x ( n − i ) − ∑ k = 1 Q a k y ( n − k ) {displaystyle y(n)=sum _{i=0}^{P}b_{i}x(n-i)-sum _{k=1}^{Q}a_{k}y(n-k)}

Для того, чтобы найти ядро фильтра, положим

x ( n ) = δ ( n ) {displaystyle x(n)=delta (n)}

где δ ( n ) {displaystyle delta (n)} — дельта-функция.

Тогда импульсная переходная функция (ядро фильтра) записывается как

h ( n ) = ∑ i = 0 P b i δ ( n − i ) − ∑ k = 1 Q a k h ( n − k ) {displaystyle h(n)=sum _{i=0}^{P}b_{i}delta (n-i)-sum _{k=1}^{Q}a_{k}h(n-k)}

Z-преобразование импульсной переходной функции даёт передаточную функцию БИХ-фильтра:

H ( z ) = ∑ i = 0 P b i z − i 1 + ∑ k = 1 Q a k z − k {displaystyle H(z)={frac {sum _{i=0}^{P}b_{i}z^{-i}}{1+sum _{k=1}^{Q}a_{k}z^{-k}}}}

Устойчивость

Об устойчивости фильтра с бесконечной импульсной характеристикой судят по его передаточной функции. Для дискретного фильтра необходимо и достаточно, чтобы все полюса его передаточной функции по модулю были меньше единицы (т.е. лежали внутри единичного круга на z-плоскости). Все критерии устойчивости, применимые в теории линейных стационарных систем, например критерий устойчивости Найквиста или критерий устойчивости Рауса применимы и в случае БИХ-фильтров.

В отличие от КИХ-фильтров, БИХ-фильтры не всегда являются устойчивыми.

Реализация БИХ фильтра

Если рассматривается передаточная функция вида:

H ( z ) = Y ( z ) X ( z ) = ∑ k = 0 M b k z − k 1 + ∑ k = 1 N a k z − k = B ( z ) A ( z ) , {displaystyle H(z)={frac {Y(z)}{X(z)}}={frac {sum _{k=0}^{M}b_{k}z^{-k}}{1+sum _{k=1}^{N}a_{k}z^{-k}}}={frac {B(z)}{A(z)}},}

то соотношение между входом и выходом такой системы должно удовлетворять разностному уравнению:

y ( n ) = − ∑ k = 1 N a ( k ) y ( n − k ) + ∑ k = 0 M b ( k ) x ( n − k ) {displaystyle y(n)=-sum _{k=1}^{N}a(k)y(n-k)+sum _{k=0}^{M}b(k)x(n-k)}

Это уравнение может быть записано непосредственно из выражения для передаточной функции, таким образом форму построения цепи, соответствующей этому уравнению, называют прямой формой 1.

Прямая реализация типа 1 БИХ фильтра

При построении БИХ фильтра для простоты можно принять, что M=N. БИХ фильтры могут быть реализованы с использованием трех элементов или основных операций: умножитель, сумматор и блок задержки. Этих элементов достаточно для всех возможных цифровых фильтров. Вариант, показанный на рисунке есть прямая реализация БИХ-фильтров типа 1.

Поскольку совокупности коэффициентов b(k) и a(k) соответствуют полиномам числителя B(z) и знаменателя A(z) передаточной функции Н(z), то прямую форму БИХ-фильтра, показанную на рисунке, можно трактовать как каскадное соединение двух цепей. Первая из них реализует нули и имеет передаточную функцию B(z), а вторая — полюсы, и имеет передаточную функцию 1/A(z). Обозначив выходной сигнал первой системы w(n), разностное уравнение можно заменить системой уравнений:

y ( n ) = − ∑ k = 1 N a ( k ) y ( n − k ) + w ( n ) , {displaystyle y(n)=-sum _{k=1}^{N}a(k)y(n-k)+w(n),} w ( n ) = ∑ k = 0 M b ( k ) x ( n − k ) {displaystyle w(n)=sum _{k=0}^{M}b(k)x(n-k)}

которая и реализована структурой, показанной на рисунке.

В дискретных системах с постоянными параметрами соотношение между входом и выходом не зависит от порядка каскадного соединения блоков. Из этого свойства вытекает вторая прямая форма построения БИХ-фильтра. Если сначала реализовать полюсы H(z) соответствующие правой части структурной схемы верхнего рисунка, которая имеет передаточную функцию 1/A(z), а после — нули передаточной функцией B(z), то получим структуру, показанную на рисунке 2, которая соответствует системе уравнений:

w ( n ) = − ∑ k = 1 N a ( k ) w ( n − k ) + x ( n ) , {displaystyle w(n)=-sum _{k=1}^{N}a(k)w(n-k)+x(n),} y ( n ) = ∑ k = 0 M b ( k ) w ( n − k ) . {displaystyle y(n)=sum _{k=0}^{M}b(k)w(n-k).} Прямая реализация типа 2 БИХ фильтра (неканоническая)

Объединив линии задержки в структуре, показанной на верхнем рисунке, получим прямую каноническую форму БИХ-фильтра:

Прямая реализация типа 2 БИХ фильтра (каноническая)

В некоторых случаях, с точки зрения шумовых характеристик, фильтр, реализованный в прямой форме, лучше, чем в канонической.