Соединение многогранников

Соединение многогранников

14.12.2020

Соединение многогранников — это фигура, составленная из некоторых многогранников, имеющих общий центр. Соединения являются трёхмерными аналогами многоугольных соединений, таких как гексаграмма.

Внешние вершины соединения можно соединить, образовав выпуклый многогранник, который называется выпуклой оболочкой. Соединение является огранкой выпуклой оболочки.

Внутри соединения образуется меньший выпуклый многогранник как общая часть всех членов соединения. Этот многогранник называется ядром для звёздчатых многогранников.

Правильные соединения

Правильные многогранные соединения можно определить как соединения, которые, как и в случае правильных многогранников, являются вершинно-транзитивными, рёберно транзитивными и гранетранзитивными. Существует пять правильных соединений многогранников.

Наиболее известно соединение двух тетраэдров. Кеплер назвал это соединение по-латински stella octangula (звёздчатый октаэдр). Вершины двух тетраэдров задают куб, а их пересечение является октаэдром, грани которого лежат на тех же плоскостях, что и грани составляющих тетраэдров. Таким образом, соединение является приведением к звезде октаэдра и, фактически, его единственным возможным приведением.

Звёздчатый октаэдр можно также рассматривать как двойственно-правильное соединение.

Соединение пяти тетраэдров имеет две зеркальные версии, которые вместе дают соединение десяти тетраэдров. Все соединения тетраэдров самодвойственны, а соединение пяти кубов двойственно соединению пяти октаэдров.

Двойственные соединения

Двойственное соединение — это соединение многогранника и двойственного ему, расположенных взаимно противоположно относительно общей вписанной или полувписанной сферы, так что ребро одного многогранника пересекает двойственное ребро двойственного многогранника. Существует пять таких соединений правильных многогранников.

Тетраэдр самодвойственен, так что двойственное соединение тетраэдра с двойственным ему является также звёздчатым октаэдром.

Двойственные соединения куб-октаэдр и додекаэдр-икосаэдр являются приведением к звезде кубооктаэдра и икосододекаэдра соответственно.

Соединение малого звёздчатого додекаэдра и большого додекаэдра выглядит внешне как тот же самый малый звёздчатый додекаэдр, поскольку большой додекаэдр содержится полностью внутри него. По этой причине изображение малого звёздчатого додекаэдра, приведённое выше, показано в виде рёберного каркаса.

Однородные соединения

В 1976 Джон Скиллинг (John Skilling) опубликовал статью Однородные соединения однородных многогранников , в которой перечислил 75 соединений (включая 6 бесконечных множеств призматических соединений, №20-25), полученных из однородных многогранников с помощью вращений. (Каждая вершина является вершинно транзитивной.) Список включает пять соединений правильных многогранников из списка выше. [1]

Эти 75 однородных соединений приведены в таблице ниже. В большинстве соединений разные цвета соответствуют разным составляющим. Некоторые хиральные пары раскрашены согласно зеркальной симметрии.

  • 1—19: Смесь (4,5,6,9,17 являются пятью правильными соединениями)
  • 20—25: Симметрия призм, вложенная в диэдральную симметрию в трёхмерном пространстве,
  • 26—45: Симметрия призм, вложенная в октаэдральную или икосаэдральную симметрию,
  • 46—67: Тетраэдральная симметрия, вложенная в октаэдральную или икосаэдральную симметрию,
  • 68—75: энантиоморфные пары

Другие соединения

  • Соединение трёх октаэдров
  • Соединение четырёх кубов

Два многогранника, являющиеся соединениями, но их элементы строго заключены в малый сложный икосододекаэдр (соединение икосаэдра и большого додекаэдра) и большой сложный икосододекаэдр (соединение малого звёздного додекаэдра и большого икосаэдра). Если принять обобщённое определение однородного многогранника, они будут однородными.

Секция энтианоморфных пар в списке Скиллинга не содержит соединения двух больших плосконосых додекоикосододекаэдров, поскольку грани-пентаграммы совпадают. Удаление совпадающих граней приведёт к соединению двадцати октаэдров.

Четырёхмерные соединения

В четырёхмерном пространстве существует большое число правильных соединений правильных многогранников. Коксетер перечислил некоторые из них в своей книге Правильные многогранники .

Самодвойственные:

Двойственные пары:

Однородные соединения с выпуклыми четырёхмерными многогранниками:

Двойственные позиции:

Соединение правильных звёздных четырёхмерных многогранников

Самодвойственные звёздные соединения:

Двойственные пары соединений звёзд:

Однородные соединения звёзд:

Теория групп

В терминах теории групп, если G является группой симметрии соединения многогранников и группа действует транзитивно на многогранник (так что любой многогранник может быть в любой другой, как в однородных соединениях), тогда, если H является стабилизатором одного выбранного многогранника, многогранники могут быть определены по орбите G/H.

Соединение мозаик

Существует восемнадцать двупараметрических семейств правильных соединений мозаик на евклидовой плоскости. В гиперболическом пространстве известны пять однопараметрических семейств и семнадцать изолированных мозаик, но список не является завершённым.

Евклидовы и гиперболические семейства 2 {p,p} (4 ≤ p ≤ ∞, p целое) аналогичны сферическим звёздчатым октаэдрам, 2 {3,3}.

Известным семейством правильных еквлидовых соединений сот в пространствах размерности пять и выше является бесконечное семейство гиперболических сот, имеющих общие вершины и грани. Такое соединение может иметь произвольное число ячеек в соединении.

Существуют также двойственно-правильные соединения мозаик. Простым примером служит E2-соединение шестиугольной мозаики и её двойственной треугольной. Евклидово соединение двух гиперболических сот правильно и двойственно правильно.