Сумма трёх кубов

Сумма трёх кубов

15.12.2020

Сумма трёх кубов — в математике открытая проблема о представимости целого числа в виде суммы трёх кубов целых (положительных или отрицательных) чисел.

Соответствующее диофантово уравнение записывается как x 3 + y 3 + z 3 = n . {displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}=n.} Необходимое условие для представимости числа n {displaystyle n} в виде суммы трёх кубов: n {displaystyle n} не сравнимо с 4 или 5 по модулю 9.

В вариантах задачи число надо представить суммой кубов только неотрицательных или рациональных чисел. Любое целое число представимо в виде суммы рациональных кубов, но неизвестно, образуют ли суммы неотрицательных кубов множество с ненулевой асимптотической плотностью.

История

Вопрос о представлении произвольного целого числа в виде суммы трёх кубов существует уже около 200 лет, первое известное параметрическое решение в рациональных числах дано С. Рили в 1825 году. Параметрические решения в целых числах находят для n = 2 {displaystyle n=2} — в 1908 году А. С. Веребрюсов (учитель математики Феодосийской мужской гимназии, сын С. И. Веребрюсова), для n = 1 {displaystyle n=1} — в 1936 году Малер.

Решения

Необходимое условие для представимости числа n {displaystyle n} в виде суммы трёх кубов: n {displaystyle n} не сравнимо с 4 или 5 по модулю 9; так как куб любого целого числа по модулю 9 сравним с 0, 1 или −1, то сумма трёх кубов не может дать 4 или 5 по модулю 9. Неизвестно, является ли это условие достаточным.

В 1992 году Роджер Хит-Браун предположил, что любое n {displaystyle n} не сравнимое с 4 или 5 по модулю 9 имеет бесконечно много представлений в виде сумм трёх кубов.

Однако неизвестно, разрешимо ли алгоритмически представление чисел в виде суммы трёх кубов, то есть может ли алгоритм за конечное время проверить существование решения для любого заданного числа. Если гипотеза Хита-Брауна верна, то проблема разрешима, и алгоритм может правильно решить задачу. Исследование Хита-Брауна также включает в себя более точные предположения о том, как далеко алгоритму придется искать, чтобы найти явное представление, а не просто определить, существует ли оно.

Случай n = 33 {displaystyle n=33} , представление которого в виде суммы кубов долгое время не было известно, использован Бьорном Пуненом в качестве вводного примера в обзоре неразрешимых проблем теории чисел, из которых десятая проблема Гильберта является наиболее известным примером.

Небольшие числа

Для n = 0 {displaystyle n=0} существуют только тривиальные решения

a 3 + ( − a ) 3 + 0 3 = 0. {displaystyle a^{3}+(-a)^{3}+0^{3}=0.}

Нетривиальное представление 0 в виде суммы трёх кубов дало бы контрпример к доказанной Леонардом Эйлером последней теореме Ферма для степени 3: поскольку один из трёх кубов будет иметь противоположный к двум другим числам знак, следовательно его отрицание равно сумме этих двух.

Для n = 1 {displaystyle n=1} и n = 2 {displaystyle n=2} существует бесконечное число семейств решений, например (1 — Малер, 1936, 2 — Веребрюсов, 1908):

( 9 b 4 ) 3 + ( 3 b − 9 b 4 ) 3 + ( 1 − 9 b 3 ) 3 = 1 , {displaystyle (9b^{4})^{3}+(3b-9b^{4})^{3}+(1-9b^{3})^{3}=1,} ( 1 + 6 c 3 ) 3 + ( 1 − 6 c 3 ) 3 + ( − 6 c 2 ) 3 = 2. {displaystyle (1+6c^{3})^{3}+(1-6c^{3})^{3}+(-6c^{2})^{3}=2.}

Существуют другие представления и другие параметризованные семейства представлений для 1. Для 2 другими известными представлениями являются

1   214   928 3 + 3   480   205 3 + ( − 3   528   875 ) 3 = 2 , {displaystyle 1 214 928^{3}+3 480 205^{3}+(-3 528 875)^{3}=2,} 37   404   275   617 3 + ( − 25   282   289   375 ) 3 + ( − 33   071   554   596 ) 3 = 2 , {displaystyle 37 404 275 617^{3}+(-25 282 289 375)^{3}+(-33 071 554 596)^{3}=2,} 373   783   0626   090 3 + 1   490   220   318   001 3 + ( − 3   815   176   160   999 ) 3 = 2. {displaystyle 373 783 0626 090^{3}+1 490 220 318 001^{3}+(-3 815 176 160 999)^{3}=2.}

Эти равенства можно использовать для разложения любого куба или удвоенного куба на сумму трёх кубов.

Однако 1 и 2 являются единственными числами с представлениями, которые могут быть параметризованы полиномами четвёртой степени. Даже в случае представлений n = 3 {displaystyle n=3} Луи Дж. Морделл написал в 1953 году: «я ничего не знаю», кроме небольших решений

4 3 + 4 3 + ( − 5 ) 3 = 3 , {displaystyle 4^{3}+4^{3}+(-5)^{3}=3,} 1 3 + 1 3 + 1 3 = 3 , {displaystyle 1^{3}+1^{3}+1^{3}=3,}

и ещё того, что все три куба должны быть равны 1 по модулю 9. 17 сентября 2019 года Эндрю Букер и Эндрю Сазерленд, нашедшие представление для сложных случаев 33 и 42 (см. ниже), опубликовали ещё одно представление 3, для нахождения которого было затрачено 4 млн. часов в вычислительной сети Charity Engine:

569   936   821   221   962   380   720 3 + ( − 569   936   821   113   563   493   509 ) 3 + ( − 472   715   493   453   327   032 ) 3 = 3 , {displaystyle 569 936 821 221 962 380 720^{3}+(-569 936 821 113 563 493 509)^{3}+(-472 715 493 453 327 032)^{3}=3,}

Остальные числа

С 1955 года, вслед за Морделлом, многие исследователи осуществляют поиск решений с помощью компьютера.

В 1954 году Миллер и Вуллетт находят представления для 69 чисел от 1 до 100. В 1963 году Гардинер, Лазарус, Штайн исследуют интервал от 1 до 999, они находят представления для многих чисел, кроме 70 чисел, из которых 8 значений меньше 100. В 1992 году Хит-Браун и др. нашли решение для 39. В 1994 году Кояма, используя современные компьютеры, находит решения для ещё 16 чисел от 100 до 1000. В 1994 году Конн и Вазерштайн — 84 и 960. В 1995 году Бремнер — 75 и 600, Люкс — 110, 435, 478. В 1997 году Кояма и др. — 5 новых чисел от 100 до 1000. В 1999 году Элкис — 30 и ещё 10 новых чисел от 100 до 1000. В 2007 году Бек и др. — 52, 195, 588. В 2016 году Хёйсман — 74, 606, 830, 966.

Elsenhans и Jahnel в 2009 году использовали метод Элкиса, применяющий редуцирование базиса решётки для поиска всех решений диофантова уравнения x 3 + y 3 + z 3 = n {displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}=n} для положительных n {displaystyle n} не больше 1000 и для max ( | x | , | y | , | z | ) < 10 14 {displaystyle max {ig (}|x|,|y|,|z|{ig )}<10^{14}} , затем Хёйсман в 2016 году расширил поиск до max ( | x | , | y | , | z | ) < 10 15 {displaystyle max {ig (}|x|,|y|,|z|{ig )}<10^{15}} .

Весной 2019 года Эндрю Букер (Бристольский университет) разработал другую стратегию поиска со временем расчётов пропорциональным min ( | x | , | y | , | z | ) {displaystyle min {ig (}|x|,|y|,|z|{ig )}} , а не их максимуму, и нашёл представление 33 и 795:

33 = 8   866   128   975   287   528 3 + ( − 8   778   405   442   862   239 ) 3 + ( − 2   736   111   468   807   040 ) 3 , {displaystyle 33=8 866 128 975 287 528^{3}+(-8 778 405 442 862 239)^{3}+(-2 736 111 468 807 040)^{3},} 795 = ( − 14   219   049   725   358   227 ) 3 + 14   197   965   759   741   571 3 + 2   337   348   783   323   923 3 . {displaystyle 795=(-14 219 049 725 358 227)^{3}+14 197 965 759 741 571^{3}+2 337 348 783 323 923^{3}.}

В сентябре 2019 года Букер и Эндрю Сазерленд закрыли интервал до 100, найдя представление 42, для чего было затрачено 1,3 миллиона часов расчёта в глобальной вычислительной сети Charity Engine:

42 = ( − 80   538   738   812   075   974 ) 3 + 80   435   758   145   817   515 3 + 12   602   123   297   335   631 3 . {displaystyle 42=(-80 538 738 812 075 974)^{3}+80 435 758 145 817 515^{3}+12 602 123 297 335 631^{3}.}

Позже, в этом же месяце, они нашли разложение числа 906 :

906 = ( − 74   924   259   395   610   397 ) 3 + 72   054   089   679   353   378 3 + 35   961   979   615   356   503 3 . {displaystyle 906=(-74 924 259 395 610 397)^{3}+72 054 089 679 353 378^{3}+35 961 979 615 356 503^{3}.}

А затем 165:

165 = ( − 385   495   523   231   271   884 ) 3 + 383   344   975   542   639   445 3 + 98   422   560   467   622   814 3 . {displaystyle 165=(-385 495 523 231 271 884)^{3}+383 344 975 542 639 445^{3}+98 422 560 467 622 814^{3}.}

На 2019 год были найдены представления всех чисел до 100, не равных 4 или 5 по модулю 9. Остаются неизвестными представления для 8 чисел от 100 до 1000: 114, 390, 579, 627, 633, 732, 921, 975.

Наименьший нерешённый случай — n = 114 {displaystyle n=114} .

Варианты

Существует вариант задачи, в котором число необходимо представить в виде суммы трёх кубов неотрицательных целых чисел, эта задача связана с проблемой Варинга. В XIX веке Карл Густав Якоб Якоби и его коллеги составили таблицы решений этой задачи. Предполагается, но не доказано, что представимые числа имеют положительную асимптотическую плотность, хотя Тревор Вули показал, что таким образом возможно представить Ω ( n 0,917 ) {displaystyle Omega (n^{0{,}917})} чисел в интервале от 1 {displaystyle 1} до n {displaystyle n} . Плотность не более Γ ( 4 / 3 ) 3 / 6 ≈ 0,119 {displaystyle Gamma (4/3)^{3}/6approx 0{,}119} .

Ещё один вариант — с рациональными числами. Известно, что любое целое число может быть представлено в виде суммы трёх кубов рациональных чисел.