Число Скьюза

Число Скьюза

15.12.2020

Число Скьюза (англ. Skewes number) — наименьшее натуральное число n {displaystyle n} , такое, что, начиная с него, неравенство π ( n ) < Li ⁡ ( n ) {displaystyle pi (n)<operatorname {Li} (n)} перестает выполняться, где π ( n ) {displaystyle pi (n)} — функция распределения простых чисел, Li ⁡ ( n ) = ∫ 2 n d t ln ⁡ ( t ) {displaystyle operatorname {Li} (n)=int limits _{2}^{n}{frac {dt}{ln(t)}}} — сдвинутый интегральный логарифм.

Джон Литтлвуд в 1914 году дал неконструктивное доказательство того, что такое число существует.

Стэнли Скьюз в 1933 году оценил это число, исходя из гипотезы Римана, как exp 3 ⁡ ( 79 ) = e e e 79 ≈ 10 10 10 34 {displaystyle exp ^{3}(79)=e^{e^{e^{79}}}approx 10^{10^{10^{34}}}} — первое число Скьюза, обозначающееся S k 1 {displaystyle mathrm {Sk} _{1}} .

В 1955 году он же дал оценку без предположения о верности гипотезы Римана: exp 4 ⁡ ( 7,705 ) = e e e e 7,705 ≈ 10 10 10 963 {displaystyle exp ^{4}(7{,}705)=e^{e^{e^{e^{7{,}705}}}}approx 10^{10^{10^{963}}}} — второе число Скьюза, обозначающееся S k 2 {displaystyle mathrm {Sk} _{2}} . Это одно из самых больших чисел, когда-либо применявшихся в математических доказательствах, хотя и намного меньше, чем число Грэма.

В 1987 году Риел (H. J. J. te Riele) без предположения гипотезы Римана ограничил число Скьюза величиной e e 27 / 4 {displaystyle e^{e^{27/4}}} , что приблизительно равно 8,185·10370.

К 2020 году известно, что число Скьюза заключено между 1019 и 1,3971672·10316 ≈ e727,951336108.