Разложение Риччи

Разложение Риччи

15.12.2020

Разложение Риччи — это разложение тензора кривизны Римана на неприводимые относительно ортогональной группы тензорные части. Это разложение играет важную роль в римановой и псевдоримановой геометрии.

Составные части тензора Римана

Разложение выглядит так:

R a b c d = S a b c d + E a b c d + C a b c d . {displaystyle R_{abcd}=,S_{abcd}+E_{abcd}+C_{abcd}.}

Его элементами являются:

  • скалярная часть S a b c d {displaystyle S_{abcd}} ,
  • полубесследовая часть E a b c d {displaystyle E_{abcd}} ,
  • полностью бесследовая часть, носящая специальное название тензор Вейля, C a b c d {displaystyle C_{abcd}} .
  • Каждый элемент имеет те же симметрии, как и тензор кривизны, но также обладает специфическими алгебраическими свойствами.

    Скалярная часть

    S a b c d = R ( n − 1 ) ( n − 2 ) H a b c d {displaystyle S_{abcd}={frac {R}{(n-1),(n-2)}},H_{abcd}}

    зависит только от скалярной кривизны R = R m m {displaystyle R={R^{m}}_{m}} (где R a b = R c a c b {displaystyle R_{ab}={R^{c}}_{acb}} — тензор Риччи), и метрического тензора g a b {displaystyle g_{ab}} , который комбинируется таким образом, чтобы дать тензор H a b c d {displaystyle H_{abcd}} с симметрией тензора кривизны:

    H a b c d = g a d g c b − g a c g d b = 2 g a [ d g c ] b . {displaystyle H_{abcd}=g_{ad},g_{cb}-g_{ac},g_{db}=2g_{a[d},g_{c]b}.}

    Полубесследовая часть

    E a b c d = 1 n − 2 ( g a c R b d − g a d R b c + g b d R a c − g b c R a d ) = 2 n − 2 ( g a [ c R d ] b − g b [ c R d ] a ) {displaystyle E_{abcd}={frac {1}{n-2}},left(g_{ac},R_{bd}-g_{ad},R_{bc}+g_{bd},R_{ac}-g_{bc},R_{ad} ight)={frac {2}{n-2}},left(g_{a[c},R_{d]b}-g_{b[c},R_{d]a} ight)}

    получается аналогичным образом из бесследовой части тензора Риччи

    S a b = R a b − 1 n g a b R {displaystyle S_{ab}=R_{ab}-{frac {1}{n}},g_{ab},R}

    и метрического тензора g a b {displaystyle g_{ab}} .

    Тензор Вейля полностью бесследовой в том смысле, что его свёртка по любой паре индексов даёт ноль. Герман Вейль показал, что этот тензор измеряет отклонение псевдориманова многообразия от конформно-плоского: в рамерностях 4 и выше, обращение его в ноль, влечёт, что многообразие локально конформно-эквивалентно плоскому многообразию.

    Это разложение — чисто алгебраическое и не включает в себя никаких дифференцирований.

    В случае лоренцева 4-мерного многообразия (например, пространства-времени) тензор Эйнштейна G a b = R a b − 1 / 2 g a b R {displaystyle G_{ab}=R_{ab}-1/2,g_{ab}R} имеет след, равный скалярной кривизне с обратным знаком, так что бесследовые части тензора Эйнштейна и тензора Риччи совпадают

    S a b = R a b − 1 4 g a b R = G a b − 1 4 g a b G . {displaystyle S_{ab}=R_{ab}-{frac {1}{4}},g_{ab},R=G_{ab}-{frac {1}{4}},g_{ab},G.}

    Замечание о терминологии: обозначения R a b c d , C a b c d {displaystyle R_{abcd},,C_{abcd}} — стандартны, S a b , E a b c d {displaystyle S_{ab},,E_{abcd}} — широко распространены, но не общеприняты, а тензоры S a b c d {displaystyle S_{abcd}} и H a b c d {displaystyle H_{abcd}} не имеют устоявшихся обозначений.

    Как неприводимое представление

    Разложение Риччи представляет собой разложение пространства всех тензоров с симметрией тензора кривизны на неприводимые представления ортогональной группы. Пусть Vn-мерное векторное пространство с введённой на нём метрикой (возможно, смешанной сигнатуры). Если оно представляет собой касательное пространство в точке многообразия, то тензор кривизны R с ковариантными индексами представляет собой элемент тензорного произведения VVVV, такой что он антисимметричен по паре первых и последних элементов:

    R ( x , y , z , w ) = − R ( y , x , z , w ) = − R ( x , y , w , z ) {displaystyle R(x,y,z,w)=-R(y,x,z,w)=-R(x,y,w,z)}

    и симметричен относительно их перестановки

    R ( x , y , z , w ) = R ( z , w , x , y ) , {displaystyle R(x,y,z,w)=R(z,w,x,y),}

    для всех x,y,z,wV∗. Тогда R принадлежит подпространству S 2 Λ 2 V {displaystyle S^{2}Lambda ^{2}V} , квадратичных форм на бивекторах пространства V. Помимо этого, тензор кривизны должен также удовлетворять тождеству Бианки, обозначающему, что он принадлежит ядру линейного отображения антисимметризации b : S 2 Λ 2 V → Λ 4 V {displaystyle bcolon S^{2}Lambda ^{2}V o Lambda ^{4}V}

    b : R ( x , y , z , w ) ↦ 1 3 ⋅ [ R ( x , y , z , w ) + R ( y , z , x , w ) + R ( z , x , y , w ) ] . {displaystyle bcolon R(x,y,z,w)mapsto { frac {1}{3}}cdot [R(x,y,z,w)+R(y,z,x,w)+R(z,x,y,w)].}

    Ядро K e r ⁡ b ⊂ S 2 Λ 2 V {displaystyle mathop { m {Ker}} bsubset S^{2}Lambda ^{2}V} представляет собой пространство алгебраических тензоров кривизны. Разложение Риччи представляет собой разложение этого пространства на неприводимые компоненты. Отображение свёртки Риччи

    c : S 2 Λ 2 V → S 2 V {displaystyle c:S^{2}Lambda ^{2}V o S^{2}V}

    определяется равенством

    c ( R ) ( x , y ) = tr ⁡ R ( x , ⋅ , y , ⋅ ) . {displaystyle c(R)(x,y)=operatorname {tr} R(x,cdot ,y,cdot ).}

    Это отображение позволяет сопоставить каждому алгебраическому тензору кривизны симметрическую 2-форму. Наоборот, для любых симметрических 2-форм h {displaystyle h} и k {displaystyle k} произведение Кулкарни — Номидзу

    h   ∧ ◯   k ( x , y , z , w ) = h ( x , z ) k ( y , w ) + h ( y , w ) k ( x , z ) − h ( x , w ) k ( y , z ) − h ( y , z ) k ( x , w ) {displaystyle h{~wedge !!!!!!igcirc ~}k(x,y,z,w)=h(x,z)k(y,w)+h(y,w)k(x,z)-h(x,w)k(y,z)-h(y,z)k(x,w)}

    определяет алгебраический тензор кривизны.

    При n ≥ 4 {displaystyle ngeq 4} имеется (единственное) ортогональное разложение на неприводимые подпространства:

    RV = SVEVCV,

    где

    S V = R g ∘ g ; {displaystyle mathbf {S} V=mathbb {R} gcirc g;} E V = g ∘ S 0 2 V , {displaystyle mathbf {E} V=gcirc S_{0}^{2}V,} где S2
    0V — пространство симметричных 2-форм с нулевым следом; C V = ker ⁡ c ∩ ker ⁡ b . {displaystyle mathbf {C} V=ker ccap ker b.}

    Компоненты S, E и C разложения Риччи данного тензора Римана R представляют собой ортогональные проекции R на инвариантные подпространства. В частности,

    R = S + E + C {displaystyle R=S+E+C}

    и

    | R | 2 = | S | 2 + | E | 2 + | C | 2 . {displaystyle |R|^{2}=|S|^{2}+|E|^{2}+|C|^{2}.}

    Разложение Риччи выражает пространство тензоров с симметрией тензора Римана как прямую сумму скалярного подмодуля, подмодуля Риччи и подмодуля Вейля. Каждый из этих модулей представляет собой неприводимое представление ортогональной группы, и таким образом это разложение является частным случаем разложения модуля полупростой группы Ли на неприводимые множители.

    В 4-мерном случае, модуль Вейля разлагается дополнительно в пару неприводимых множителей по специальной ортогональной группе: самодуальную и антисамодуальную части W+ и W−.

    Физическая интерпретация

    Разложение Риччи имеет физическое значение в рамках общей теории относительности и других метрических теорий гравитации, где оно называется иногда разложением Гехеняу — Дебевера (Géhéniau-Debever). В этой теории уравнения Эйнштейна

    G a b = 8 π T a b , {displaystyle G^{ab}=8pi ,T^{ab},}

    где T a b {displaystyle T^{ab}} — тензор энергии-импульса, который содержит плотности и потоки энергии и импульса всей негравитационной материи, утверждают, что тензор Ричи (или, эквивалентно, тензор Эйнштейна) описывают ту часть гравитационного поля, которая непосредственно порождается негравитационными энергией и импульсом. Тензор Вейля представляет собой часть гравитационного поля, которая распространяется даже через области пространства, не содержащие материи или полей негравитационной природы — например, в виде гравитационных волн или приливных сил. Области пространства-времени, в которых тензор Вейля обнуляется, не содержат гравитационных волн и являются конформно плоскими, что влечёт за собой, например, отсутствие гравитационного отклонения света в таких областях.