Закон Кюри

Закон Кюри

15.12.2020

Закон Кюри — физический закон, описывает магнитную восприимчивость парамагнетиков, которая при постоянной температуре для этого вида материалов приблизительно прямо пропорциональна приложенному магнитному полю. Закон Кюри постулирует, что при изменении температуры и постоянном внешнем поле, степень намагниченности парамагнетиков обратно пропорциональна температуре:

M = C ⋅ B T , {displaystyle M=Ccdot {frac {B}{T}},}

где в единицах Международной системе единиц (СИ): M {displaystyle M} — получаемая намагниченность материала; B {displaystyle B} — магнитное поле, измеренное в теслах; T {displaystyle T} — абсолютная температура в кельвинах; C {displaystyle C} — постоянная Кюри данного материала. Это соотношение, полученное экспериментально Пьером Кюри, выполняется только при высоких температурах или слабых магнитных полях. В обратном случае — то есть при низких температурах или при сильных полях — намагниченность не подчиняется этому закону.

Вывод закона с использованием квантовой статистической механики

Простые модели парамагнетиков основываются на предположении, что эти материалы состоят из частей или областей (парамагнетонов), которые не взаимодействуют друг с другом. Каждая область имеет собственный магнитный момент, который можно обозначить векторной величиной μ → {displaystyle {vec {mu }}} . Энергия момента магнитного поля может быть записана следующим образом:

E = − μ → ⋅ B → . {displaystyle E=-{vec {mu }}cdot {vec {B}}.}

Области с двумя состояниями (спин-1/2)

Для того, чтобы упростить вывод, предположим, что каждая из областей рассматриваемого парамагнетика имеет два состояния момента, направление которого может совпадать с направлением магнитного поля или быть направленным в противоположную сторону. В данном случае возможны только два значения магнитного момента μ {displaystyle mu } , − μ {displaystyle -mu } и два значения энергии: E 0 = − μ B {displaystyle E_{0}=-mu B} и E 1 = μ B . {displaystyle E_{1}=mu B.} При поиске магнитной восприимчивости парамагнетика определяется вероятность для каждой области оказаться в состоянии, сонаправленном магнитному полю. Другими словами, определяется математическое ожидание намагниченности материала μ {displaystyle mu } :

⟨ μ ⟩ = μ P ( μ ) + ( − μ ) P ( − μ ) = 1 Z ( μ e μ B β − μ e − μ B β ) = 2 μ Z sh ⁡ ( μ B β ) , {displaystyle leftlangle mu ight angle =mu Pleft(mu ight)+(-mu )Pleft(-mu ight)={1 over Z}left(mu e^{mu Beta }-mu e^{-mu Beta } ight)={2mu over Z}operatorname {sh} (mu Beta ),}

где вероятность системы описывается распределением Больцмана, статистическая сумма Z {displaystyle Z} обеспечивает нормализацию вероятностей. Нормирующая функция для одной области может быть представлена следующим образом:

Z = ∑ n = 0 , 1 e − E n β = e μ B β + e − μ B β = 2 ch ⁡ ( μ B β ) . {displaystyle Z=sum _{n=0,1}e^{-E_{n}eta }=e^{mu Beta }+e^{-mu Beta }=2operatorname {ch} left(mu Beta ight).}

Таким образом, в двухспиновой модели мы имеем:

⟨ μ ⟩ = μ th ⁡ ( μ B β ) . {displaystyle leftlangle mu ight angle =mu operatorname {th} left(mu Beta ight).}

Используя полученное выражение для одной области, получаем намагниченность всего материала:

M = N ⟨ μ ⟩ = N μ th ⁡ ( μ B k T ) . {displaystyle M=Nleftlangle mu ight angle =Nmu operatorname {th} left({mu B over kT} ight).}

Выведенная выше формула носит название уравнения Ланжевена для парамагнетиков. П. Кюри в ходе экспериментов обнаружил приближение к этому закону, которое выполнялось при высоких температурах и слабых магнитных полях. Предположим, что абсолютное значение температуры T {displaystyle T} велико, а B {displaystyle B} мало. В данном случае, иногда называемом режимом Кюри, величина аргумента гиперболического тангенса мала:

( μ B k T ) ≪ 1. {displaystyle left({mu B over kT} ight)ll 1.}

И так как известно, что в случае | x | ≪ 1 {displaystyle |x|ll 1} выполняется соотношение

th ⁡ x ≈ x , {displaystyle operatorname {th} xapprox x,}

получаем результат:

M ( T → ∞ ) = N μ 2 k B T , {displaystyle mathbf {M} (T ightarrow infty )={Nmu ^{2} over k}{mathbf {B} over T},}

где константа Кюри равна C = N μ 2 / k . {displaystyle C=Nmu ^{2}/k.} Также следует отметить, что в противоположном случае низких температур и сильных полей M {displaystyle M} и N μ {displaystyle Nmu } имеют тенденцию принимать максимальные значения, что соответствует случаю, когда все области имеют магнитный момент, совпадающий по направлению с магнитным полем.

Общий случай

В общем случае произвольного распределения направлений магнитных моментов формула становится несколько более сложной (см. англ. Brillouin function). Как только значение спина приближается к бесконечности, формула для магнитной восприимчивости принимает классический вид.

Получение с помощью классической статистической механики

Альтернативный подход предполагает, что парамагнетоны представляют из себя области со свободно вращающимися магнитными моментами. В данном случае их положение определяется углами в сферических координатах, а энергия одной области представляется в виде:

E = − μ B cos ⁡ θ , {displaystyle E=-mu Bcos heta ,}

где θ {displaystyle heta } — угол между направлением магнитного момента и направлением магнитного поля, которое, предположим, направлено вдоль координаты z {displaystyle z} . Соответствующая функция для одной области будет иметь вид:

Z = ∫ 0 2 π d ϕ ∫ 0 π d θ sin ⁡ θ exp ⁡ ( μ B β cos ⁡ θ ) . {displaystyle Z=int _{0}^{2pi }dphi int _{0}^{pi }d heta sin heta exp(mu Beta cos heta ).}

Как видно, в данном случае нет явной зависимости от угла ϕ {displaystyle phi } , и мы также можем осуществить замену переменной y = cos ⁡ θ {displaystyle y=cos heta } , что позволяет получить:

Z = 2 π ∫ − 1 1 d y exp ⁡ ( μ B β y ) = 2 π exp ⁡ ( μ B β ) − exp ⁡ ( − μ B β ) μ B β = 4 π sinh ⁡ ( μ B β ) μ B β . {displaystyle Z=2pi int _{-1}^{1}dyexp(mu Beta y)=2pi {exp(mu Beta )-exp(-mu Beta ) over mu Beta }={4pi sinh(mu Beta ) over mu Beta .}}

Математическое ожидание компоненты z {displaystyle z} будет соответствовать степени намагниченности, а остальные две обратятся в нуль после интегрирования по ϕ {displaystyle phi } :

⟨ μ z ⟩ = 1 Z ∫ 0 2 π d ϕ ∫ 0 π d θ sin ⁡ θ exp ⁡ ( μ B β cos ⁡ θ ) [ μ cos ⁡ θ ] . {displaystyle leftlangle mu _{z} ight angle ={1 over Z}int _{0}^{2pi }dphi int _{0}^{pi }d heta sin heta exp(mu Beta cos heta )left[mu cos heta ight].}

Для упрощения вычислений запишем выражение в дифференциальной форме по переменной Z {displaystyle Z} :

⟨ μ z ⟩ = 1 Z B ∂ β Z , {displaystyle leftlangle mu _{z} ight angle ={1 over ZB}partial _{eta }Z,}

что дает:

⟨ μ z ⟩ = μ L ( μ B β ) , {displaystyle leftlangle mu _{z} ight angle =mu L(mu Beta ),}

где L {displaystyle L} носит название функции Ланжевена (см. Ланжевен):

L ( x ) = coth ⁡ x − 1 x . {displaystyle L(x)=coth x-{1 over x}.}

Может показаться, что эта функция имеет сингулярность (разрыв) для маленьких значений x {displaystyle x} , но на самом деле разрыва нет, так как две сингулярные компоненты с противоположным знаком сохраняют непрерывность функции. На самом деле, её поведение при небольших значениях аргумента L ( x ) ≈ x / 3 {displaystyle L(x)approx x/3} , что сохраняет действие закона Кюри, но с втрое меньшим постоянным множителем-константой Кюри. В случае предела с большим значением аргумента применение этой функции также возможно.

Применения

Сохранение закона Кюри для парамагнетиков в слабом магнитном поле позволяет использовать их в качестве магнитных термометров.