Размерность Лебега

Размерность Лебега

16.12.2020

Размерность Лебега или топологическая размерность — размерность, определённая посредством покрытий, важнейший инвариант топологического пространства. Размерность Лебега пространства X {displaystyle X} обычно обозначается dim ⁡ X {displaystyle dim X} .

Определение

Для метрических пространств

Для компактного метрического пространства X {displaystyle X} размерность Лебега определяется как наименьшее целое число n {displaystyle n} , обладающее тем свойством, что при любом ε > 0 {displaystyle varepsilon >0} существует конечное открытое ε {displaystyle varepsilon } -покрытие X {displaystyle X} , имеющее кратность ⩽ n + 1 {displaystyle leqslant n+1} ;

При этом

  • ε {displaystyle varepsilon } -покрытием метрического пространства называется покрытие, все элементы которого имеют диаметр < ε {displaystyle <varepsilon } , а
  • кратностью конечного покрытия пространства X {displaystyle X} называется наибольшее такое целое число k {displaystyle k} , что существует точка пространства X {displaystyle X} , содержащаяся в k {displaystyle k} элементах данного покрытия.

Для топологических пространств

Для произвольного нормального (в частности, метризуемого) пространства X {displaystyle X} размерностью Лебега называется наименьшее целое число n {displaystyle n} такое, что для всякого конечного открытого покрытия пространства X {displaystyle X} существует вписанное в него (конечное открытое) покрытие кратности n + 1 {displaystyle n+1} .

При этом покрытие P {displaystyle {mathcal {P}}} называется вписанным в покрытие Q {displaystyle {mathcal {Q}}} , если каждый элемент покрытия P {displaystyle {mathcal {P}}} является подмножеством хотя бы одного элемента покрытия Q {displaystyle {mathcal {Q}}} .

Примеры

  • Нульмерные пространства: одноточечное пространство, дискретное пространство, канторово множество.
    • См. также нульмерное пространство.
  • Одномерные пространства: окружность, треугольник Серпинского, ковёр Серпинского, губка Менгера
    • См. также кривая Урысона

Свойства

  • Неравенство dim ⁡ ( X × Y ) ⩽ dim ⁡ X + dim ⁡ Y . {displaystyle dim(X imes Y)leqslant dim X+dim Y.}
выполняется при одном из следующих требований на топологические пространства X {displaystyle X} и Y {displaystyle Y} :
  • метризуемость,
  • компактность,
  • локальная компактность и паракомпактность.
Существуют примеры пар пространств для которых это неравенство нарушается; это неравенство может также оказаться строгим, например для некоторых пар поверхностей Понтрягина.
  • Размерность Лебега метрического пространства не превосходит его размерности Хаусдорфа.
    • Более того, размерность Лебега метризуемого сепарабельного пространства X {displaystyle X} совпадает с точной нижней гранью размерностей Хаусдорфа по всем метрикам на X {displaystyle X} .
  • Теорема Остранда о крашенной размерности: нормальное пространство X {displaystyle X} имеет размерность dim ⁡ X ⩽ n {displaystyle dim Xleqslant n} тогда и только тогда, когда для любого локально конечного открытого покрытия U = { U α } α ∈ A {displaystyle {mathcal {U}}={U_{alpha }}_{alpha in {mathcal {A}}}} пространства X {displaystyle X} существует вписанное покрытие V {displaystyle {mathcal {V}}} , которое состоит из n + 1 {displaystyle n+1} подсемейств V 1 , V 2 , … , V n + 1 {displaystyle {mathcal {V}}_{1},{mathcal {V}}_{2},dots ,{mathcal {V}}_{n+1}} таких, что каждое подсемейство V i {displaystyle {mathcal {V}}_{i}} состоит из непересекающиеся между собой множеств.

История

Впервые введена Анри Лебегом. Он высказал гипотезу, что размерность n {displaystyle n} -мерного куба равна n {displaystyle n} . Лёйтзен Брауэр впервые доказал это. Точное определение инварианта dim ⁡ X {displaystyle dim X} (для класса метрических компактов) дал Павел Самуилович Урысон.