Симметрическая функция

Симметрическая функция от n переменных — это функция, значение которой на любом n-кортеже аргументов то же самое, что и значение на любой перестановке этого n-кортежа. Если, например, f ( x ) = f ( x 1 , x 2 , x 3 ) {displaystyle f(mathbf {x} )=f(x_{1},x_{2},x_{3})} , функция может быть симметрической на всех переменных или парах ( x 1 , x 2 ) {displaystyle (x_{1},x_{2})} , ( x 2 , x 3 ) {displaystyle (x_{2},x_{3})} или ( x 1 , x 3 ) {displaystyle (x_{1},x_{3})} . Хотя это может относиться к любым функциям, для которых n аргументов имеют одну и ту же область определения, чаще всего имеются в виду многочлены, которые в этом случае являются симметрическими многочленами. Вне многочленов теория симметрических функций бедна и мало используется.

Симметризация

Если задана какая-либо функция f от n переменных со значениями в абелевой группе (то есть в группе с коммутативной операцией), симметрическая функция может быть построена путём суммирования значений f по всем перестановкам аргументов. Аналогично, антисимметрическая функция может быть построена как сумма по всем чётным перестановкам, из которой вычитается сумма по всем нечётным перестановкам. Эти операции, конечно, необратимы и могут привести к тождественно равной нулю функции для нетривиальной функции f. Единственный случай, когда f может быть восстановлена, когда известны симметризация функции и антисимметризация, это когда n = 2 и абелева группа допускает деление на 2 (операция, обратная удвоению). В этом случае f равна половине суммы симметризации и антисимметризации.

Примеры

• Рассмотрим функцию

f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) ( x − x 3 ) {displaystyle f(x_{1},x_{2},x_{3})=(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})} По определению, симметрическая функция от n переменных имеет свойство, что f ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) = f ( x 2 , x 1 , . . . , x n ) = f ( x 3 , x 1 , . . . , x n , x n − 1 ) {displaystyle f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=f(x_{2},x_{1},...,x_{n})=f(x_{3},x_{1},...,x_{n},x_{n-1})} и т.д.. В общем случае функция остаётся той же самой при любой перестановке переменных. Это означает, что в нашем случае ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) ( x − x 3 ) = ( x − x 2 ) ( x − x 1 ) ( x − x 3 ) = ( x − x 3 ) ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) {displaystyle (x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})=(x-x_{2})(x-x_{1})(x-x_{3})=(x-x_{3})(x-x_{1})(x-x_{2})} и так далее для всех перестановок x 1 , x 2 , x 3 {displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}}

• Рассмотрим функцию

f ( x , y ) = x 2 + y 2 − r 2 {displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}-r^{2}} Если переставить местами x и y, функция примет вид f ( y , x ) = y 2 + x 2 − r 2 {displaystyle f(y,x)=y^{2}+x^{2}-r^{2}} , что в точности совпадает с исходной функцией f(x,y).

• Теперь рассмотрим функцию

f ( x , y ) = a x 2 + b y 2 − r 2 {displaystyle f(x,y)=ax^{2}+by^{2}-r^{2}} Если переставить x и y местами, получим f ( y , x ) = a y 2 + b x 2 − r 2 . {displaystyle f(y,x)=ay^{2}+bx^{2}-r^{2}.} Эта функция, очевидно, не будет той же самой, что и исходная, если a ≠ b, следовательно, она не симметрическая.

Приложения

U-статистика

В статистике статистика на n-выборке (функция от n переменных), полученная путём бутстрэпа симметризации статистики на выборке из k элементов, даёт симметрическую функцию от n переменных, называемую U-статистикой. Примеры включают выборочное среднее и выборочную дисперсию.