Теорема Дэвенпорта — Шмидта

Теорема Дэвенпорта — Шмидта

16.12.2020

В математике, в области диофантовых приближений, теорема Давенпорта — Шмидта определяет, насколько хорошо действительные числа специального вида могут быть аппроксимированы другим специальным видом чисел. А именно, она утверждает возможность получить хорошее приближение к иррациональным числам, которые не являются квадратичными, используя квадратичные иррациональные числа или просто рациональные числа. Теорема названа в честь Гарольда Дэвенпорта и Вольфганга М. Шмидта.

Теорема

Для рационального или квадратичного иррационального числа α {displaystyle alpha } существуют уникальные целые числа x {displaystyle x} , y {displaystyle y} и z {displaystyle z} такие, что хотя бы одно из них не равно нулю, первое ненулевое из них положительно, они взаимно просты, и выполняется

x α 2 + y α + z = 0. {displaystyle xalpha ^{2}+yalpha +z=0.}

Если α {displaystyle alpha } — квадратичное иррациональное число, в качестве x {displaystyle x} , y {displaystyle y} и z {displaystyle z} можно взять коэффициенты его минимального полинома. Если α {displaystyle alpha } рационально, примем x = 0 {displaystyle x=0} . Используя эти целые числа, однозначно определённые для каждого такого α {displaystyle alpha } , высоту α {displaystyle alpha } задаётся по формуле

H ( α ) = max { | x | , | y | , | z | } . {displaystyle H(alpha )=max{|x|,;|y|,;|z|}.}

Теорема утверждает, что для любого действительного числа ξ {displaystyle xi } , которое не является ни рациональным, ни квадратичным иррациональным, можно найти бесконечно много действительных чисел α {displaystyle alpha } , которые являются рациональными или квадратичными иррациональными и которые удовлетворяют неравенству

| ξ − α | < C H ( α ) − 3 max ( 1 , ξ 2 ) , {displaystyle |xi -alpha |<CH(alpha )^{-3}max(1,;xi ^{2}),}

где C {displaystyle C} — любое действительное число, удовлетворяющее C > 160 / 9 {displaystyle C>160/9} .

Хотя эта теорема связана с теоремой Рота, её реальное использование заключается в том, что она эффективна в том смысле, что постоянная C {displaystyle C} может быть определена для любого заданного ξ {displaystyle xi } .