Групповая скорость

Групповая скорость

17.12.2020

Групповая скорость — это величина, характеризующая скорость распространения «группы волн» — то есть более или менее хорошо локализованной квазимонохроматической волны (волны с достаточно узким спектром). Обычно интерпретируется как скорость перемещения максимума амплитудной огибающей квазимонохроматического волнового пакета (или цуга волн). В случае рассмотрения распространения волн в пространстве размерностью больше единицы подразумевается, как правило, волновой пакет, близкий по форме к плоской волне.

Групповая скорость во многих важных случаях определяет скорость переноса энергии и информации квазисинусоидальной волной (хотя это утверждение в общем случае требует серьёзных уточнений и оговорок).

Групповая скорость определяется динамикой физической системы, в которой распространяется волна (конкретной среды, конкретного поля итп). В большинстве случаев подразумевается линейность этой системы (точно или приближенно).

Для одномерных волн групповая скорость вычисляется из закона дисперсии:

v g r = d ω / d k {displaystyle v_{gr}=domega /dk} ,

где ω {displaystyle omega } — угловая частота, k {displaystyle k} — волновое число.

Групповая скорость волн в пространстве (например, трехмерном или двумерном) определяется градиентом частоты по волновому вектору k → {displaystyle {vec {k}}} :

v → g r = ∇ k → ω {displaystyle {vec {v}}_{gr}= abla _{vec {k}}omega }

или (для трехмерного пространства):

( v g r ) x = ∂ ω / ∂ k x , {displaystyle (v_{gr})_{x}=partial omega /partial k_{x},} ( v g r ) y = ∂ ω / ∂ k y , {displaystyle (v_{gr})_{y}=partial omega /partial k_{y},} ( v g r ) z = ∂ ω / ∂ k z . {displaystyle (v_{gr})_{z}=partial omega /partial k_{z}.}
  • Замечание: групповая скорость, вообще говоря, зависит от волнового вектора (в одномерном случае — от волнового числа), то есть, вообще говоря, различна для разной величины и для разных направлений волнового вектора.

Частные случаи

В одномерных средах без дисперсии групповая скорость формально совпадает с фазовой скоростью лишь в случае одномерных волн.

В диссипативных (поглощающих) средах групповая скорость уменьшается с увеличением частоты в случае нормальной дисперсии фазовой скорости и, наоборот, увеличивается в средах с аномальной дисперсией. При этом возможно преодоление групповой скоростью скорости света, а также отрицательная аномальная дисперсия, когда групповая скорость противоположна фазовой. В диссипативных структурах (например, плазмонных) групповая скорость может иметь любое значение: меньше скорости света, больше скорости света, быть отрицательной по отношению к фазовой скорости, переходить через бесконечность. Такая групповая скорость есть величина кинематическая (как и фазовая скорость) и определяет скорость переноса биений двух бесконечно близких по частоте монохроматических волн (как ее рассматривал Стокс). Для Гамильтоновых систем (замкнутых систем без диссипации) в общем случае С.М. Рытовым (ЖЭТФ, 7, 930, 1947) доказана теорема, утверждающая, что групповая скорость совпадает со скоростью переноса электромагнитной энергии монохроматической волной (теорема Леонтовича-Лайтхилла-Рытова). Отрицательная (по отношению к фазовой скорости) групповая скорость в таких недиссипативных средах и структурах соответствует обратным волнам. В диссипативных средах и структурах направление движения энергии определяет вектор Пойнтинга или направление затухания волны.

Если дисперсионные свойства среды таковы, что волновой пакет распространяется в ней без существенных изменений формы своей огибающей, групповая скорость обычно может быть интерпретирована как скорость переноса «энергии» волны и скорость, с которой могут быть переданы с помощью волнового пакета сигналы, несущие информацию, (то есть «скорость распространения причинности»).

В классическом пределе квантовомеханических уравнений скорость классической частицы представляет собой значение групповой скорости соответствующей квантовомеханической волновой функции. Одно из пары канонических уравнений Гамильтона:

q ˙ i = ∂ H / ∂ p i {displaystyle {dot {q}}_{i}=partial H/partial p_{i}}

— есть, таким образом, классический предел приведенного выше выражения для групповой скорости; это особенно ясно в декартовых координатах, учитывая p → = ℏ k → ,   H ( p , q ) = ℏ ω ( k , q ) . {displaystyle {vec {p}}=hbar {vec {k}}, H(p,q)=hbar omega (k,q).}

История

Идея групповой скорости, отличающейся от фазовой скорости волны, впервые предложена Гамильтоном в 1839 году. Первое достаточно полное рассмотрение сделано Рэлеем в его «Теории звука» («Theory of Sound») в 1877.