Многозначная функция

Многозначная функция

17.12.2020

Многозначная функция — обобщение понятия функции, допускающее наличие нескольких значений функции для одного аргумента.

Определение

Функция F {displaystyle F} , которая каждому элементу множества X {displaystyle X} ставит в соответствие некоторое подмножество множества Y , {displaystyle Y,} называется многозначной функцией, если хотя бы для одного x ∈ X {displaystyle xin X} значение F ( x ) {displaystyle F(x)} содержит более одного элемента Y . {displaystyle Y.}

Обычные (однозначные) функции можно рассматривать как частный случай многозначных, у которых значение состоит ровно из одного элемента.

Примеры

Простейший пример — двузначная функция квадратного корня из положительного числа, у неё два значения, различающиеся знаком. Например, квадратный корень из 16 имеет два значения — + 4 {displaystyle +4} и − 4. {displaystyle -4.}

Другой пример — обратные тригонометрические функции (например, арксинус) — поскольку значения прямых тригонометрических функций повторяются с периодом 2 π {displaystyle 2pi } или π , {displaystyle pi ,} то значения обратных функций многозначны («бесконечнозначны»), все они имеют вид φ + 2 k π {displaystyle varphi +2kpi } или φ + k π , {displaystyle varphi +kpi ,} где k {displaystyle k} — произвольное целое число.

Многозначные функции неудобно использовать в формулах, поэтому из их значений нередко выделяют одно, которое называют главным. Для квадратного корня это неотрицательное значение, для арксинуса — значение, попадающее в интервал [ − π 2 , π 2 ] {displaystyle left[-{frac {pi }{2}},{frac {pi }{2}} ight]} и т. д.

Первообразную функцию (неопределённый интеграл) также можно рассматривать как бесконечнозначную функцию, поскольку она определена с точностью до константы интегрирования.

В комплексном анализе и алгебре

Характерный пример многозначных функций — некоторые аналитические функции в комплексном анализе. Неоднозначность возникает при аналитическом продолжении по разным путям. Также часто многозначные функции получаются в результате взятия обратных функций.

Например, корень n-ой степени из любого ненулевого комплексного числа принимает ровно n {displaystyle n} значений. У комплексного логарифма число значений бесконечно, одно из них объявлено главным.

В комплексном анализе понятие многозначной функции тесно связано с понятием римановой поверхности — поверхности в многомерном комплексном пространстве, на которой данная функция становится однозначной.