Поле разложения

Поле разложения многочлена p над полем K {displaystyle K} — наименьшее расширение поля, над которым p {displaystyle p} разлагается в произведение линейных множителей:

p ( x ) = a ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) . . . ( x − x n ) ,   x 1 , … , x n ∈ L , L ⊃ K . {displaystyle p(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2})...(x-x_{n}), x_{1},dots ,x_{n}in L,Lsupset K.}

При этом L = K ( x 1 , … , x n ) {displaystyle L=K(x_{1},dots ,x_{n})} , поэтому о поле L {displaystyle L} разложения говорят как о расширении, полученном присоединением к K {displaystyle K} всех корней данного многочлена.

Аналогично вводится понятие поля разложения семейства многочленов p i ( x ) , i ∈ I {displaystyle p_{i}(x),iin I} — такого расширения L, что каждый pi разлагается в L[x] на линейные множители и L порождается над K всеми корнями pi. Поле разложения конечного множества многочленов p1,p2,...pn, будет, очевидно, полем разложения их произведения p=p1p2...pn

Поля разложения является нормальным расширением. Более того, каждое нормальное расширение можно представить как поле разложения некоторого семейства многочленов.

Свойства

• Поле разложения конечного семейства многочленов является конечным алгебраическим расширением поля K {displaystyle K} .
• Поле разложения многочлена существует для любого семейства многочлена pi и определено однозначно с точностью до изоморфизма, тождественного на K.

Примеры

• Если степень многочлена p {displaystyle p} не превосходит 1 {displaystyle 1} , то L = K {displaystyle L=K} .
• Поле комплексных чисел C {displaystyle mathbb {C} } служит полем разложения многочлена x 2 + 1 {displaystyle x^{2}+1} над полем R {displaystyle mathbb {R} } вещественных чисел.
• Любое конечное поле G F ( q ) {displaystyle GF(q)} , где q = p n {displaystyle q=p^{n}} , есть поле разложения многочлена x q − x {displaystyle x^{q}-x} над простым подполем G F ( p ) ⊂ G F ( q ) {displaystyle GF(p)subset GF(q)} .