Шизофреническое число

Шизофреническое число

18.12.2020

Шизофреническое число (англ. Schizophrenic number, также известно как «ложное рациональное число» (англ. mock rational number)) — иррациональное число, обладающее определёнными характеристиками рациональных чисел.

Определение

Определение шизофренических чисел приведено британским астрономом и популяризатором науки Дэвидом Дарлингом в его Универсальной книге математики:

Неофициальное название для иррационального числа, которое в виде десятичной дроби имеет в дробной части повторяющиеся последовательности цифр, придающие ему сходство с рациональным числом. Шизофреническое число можно получить следующим образом. Для любого натурального числа n пусть f (n) обозначает целое число, заданное рекуррентной формулой f (n) = 10 f (n — 1) + n с начальным значением f (0) = 0. Таким образом, f (1) = 1 , f (2) = 12, f (3) = 123 и т. д. В этом случае квадратные корни f (n) для нечётных целых чисел n будут иметь значения, сначала содержащие периодические последовательности цифр, характерные для рациональных чисел, но затем переходящие в иррациональные. Например, последовательность из первых 500 цифр √f (49) выглядит так:

1111111111111111111111111.1111111111111111111111 0860 555555555555555555555555555555555555555555555 2730541 66666666666666666666666666666666666666666 0296260347 2222222222222222222222222222222222222 0426563940928819 4444444444444444444444444444444 38775551250401171874 9999999999999999999999999999 808249687711486305338541 66666666666666666666666 5987185738621440638655598958 33333333333333333333 0843460407627608206940277099609374 99999999999999 0642227587555983066639430321587456597 222222222 1863492016791180833081844 ...

Видно, что повторяющиеся последовательности цифр становятся всё короче, а длина «неупорядоченных» последовательностей цифр увеличивается до тех пор, пока повторяющиеся последовательности не исчезают вообще. При этом, увеличивая n, можно «задавать» появление повторяющихся последовательностей цифр сколь угодно долго. В последовательности всегда фигурируют цифры 1, 5, 6, 2, 4, 9, 6, 3, 9, 2, ….

Оригинальный текст (англ.): An informal name for an irrational number that displays such persistent patterns in its decimal expansion, that it has the appearance of a rational number. A schizophrenic number can be obtained as follows. For any positive integer n let f(n) denote the integer given by the recurrence f(n) = 10 f(n − 1) + n with the initial value f(0) = 0. Thus, f(1) = 1, f(2) = 12, f(3) = 123, and so on. The square roots of f(n) for odd integers n give rise to a curious mixture appearing to be rational for periods, and then disintegrating into irrationality. This is illustrated by the first 500 digits of √f(49):

1111111111111111111111111.1111111111111111111111 0860 555555555555555555555555555555555555555555555 2730541 66666666666666666666666666666666666666666 0296260347 2222222222222222222222222222222222222 0426563940928819 4444444444444444444444444444444 38775551250401171874 9999999999999999999999999999 808249687711486305338541 66666666666666666666666 5987185738621440638655598958 33333333333333333333 0843460407627608206940277099609374 99999999999999 0642227587555983066639430321587456597 222222222 1863492016791180833081844 ...

The repeating strings become progressively shorter and the scrambled strings become larger until eventually the repeating strings disappear. However, by increasing n we can forestall the disappearance of the repeating strings as long as we like. The repeating digits are always 1, 5, 6, 2, 4, 9, 6, 3, 9, 2,....

Последовательность чисел, порождённых рекуррентной формулой f (n) = 10 f (n — 1) + n, описанной выше, выглядит так:

0, 1, 12, 123, 1234, 12345, 123456, 1234567, 12345678, 123456789, 1234567900, … (последовательность A014824 в OEIS).

Целые части их квадратных корней — соответственно:

0, 1, 3, 11, 35, 111, 351, 1111, 3513, 11111, 35136, 111111, 351364, 1111111, … (последовательность A068995 в OEIS), содержат как числа с повторяющимися последовательностями цифр, так и числа с «неупорядоченным» набором цифр, аналогично чередованию цифр в дробных частях значений квадратных корней.

История

По оценке американского писателя и популяризатора науки Клиффорда Пиковера, шизофренические числа были обнаружены Кевином Брауном.

В своей книге «Чудеса чисел» Пиковер так описал историю шизофренических чисел:

Построение и открытие шизофренических чисел было вызвано требованием (опубликованным в Usenet newsgroup sci.math), чтобы иррациональное число, выбранное случайным образом, не содержало бы в первых 100 знаках повторяющихся последовательностей цифр. Было отмечено, что если бы такая последовательность была найдена, это стало бы неопровержимым доказательством существования Бога или внеземного разума. (Иррациональное число — это любое число, которое не может быть выражено как отношение двух целых чисел. Трансцендентные числа, такие как e и π, и другие, такие как квадратный корень из 2, являются иррациональными).