Интегрированный временной ряд

Интегрированный временной ряд — нестационарный временной ряд, разности некоторого порядка от которого являются стационарным временным рядом. Такие ряды также называют разностно-стационарными (DS-рядами, Difference Stationary). Примером интегрированного временного ряда является случайное блуждание, часто используемое при моделировании финансовых временных рядов.

Определение

Для определения интегрированных временных рядов необходимо определить класс временных рядов, называемых стационарными относительно тренда рядами (TS-рядами, trend stationary). Ряд x t {displaystyle x_{t}} называется TS-рядом, если существует некоторая детерминированная функция f(t), такая что разность x t − f ( t ) {displaystyle x_{t}-f(t)} является стационарным процессом. В частности, к TS-рядам относятся все стационарные ряды. Однако, многие TS-ряды являются нестационарными. К TS рядам относится, например, также модель линейного (детерминированного) тренда x t = a + b t + ε t {displaystyle x_{t}=a+bt+varepsilon _{t}} где ошибка модели — стационарный процесс (обычно белый шум).

Временной X t {displaystyle X_{t}} ряд называется интегрированным порядка k (обычно пишут X t ∼ I ( k ) {displaystyle X_{t}sim I(k)} ), если разности ряда k-го порядка △ k x t {displaystyle vartriangle ^{k}x_{t}} — являются стационарными, в то время как разности меньшего порядка (включая нулевого порядка, то есть сам временной ряд) не являются TS-рядами. В частности I(0)-это стационарный процесс.

Пример

Рассмотрим пример — процесс случайного блуждания со сносом (дрейфом) — интегрированный процесс первого порядка I ( 1 ) {displaystyle I(1)}

x t = a + x t − 1 + ε t {displaystyle x_{t}=a+x_{t-1}+varepsilon _{t}}

где случайная ошибка модели — белый шум. Первые разности временного ряда, очевидно, являются стационарными. Представим модель в несколько иной форме:

x t = a + x t − 1 + ε t = a + a + x t − 2 + ε t − 1 + ε t = a + a + a + x t − 3 + ε t − 2 + ε t − 1 + ε t = . . . = x 0 + a t + ∑ i = 1 t ε i {displaystyle x_{t}=a+x_{t-1}+varepsilon _{t}=a+a+x_{t-2}+varepsilon _{t-1}+varepsilon _{t}=a+a+a+x_{t-3}+varepsilon _{t-2}+varepsilon _{t-1}+varepsilon _{t}=...=x_{0}+at+sum _{i=1}^{t}varepsilon _{i}}

Таким образом, случайное блуждание с дрейфом внешне похоже на модель линейного тренда с одной очень существенной разницей — дисперсия ошибки модели V ( ∑ i = 1 t ε i ) = t σ 2 {displaystyle V(sum _{i=1}^{t}varepsilon _{i})=tsigma ^{2}} пропорциональна времени, то есть со временем стремится к бесконечности. Притом, что математическое ожидание случайной ошибки равно нулю. Если даже применить к временному ряду процедуру исключения линейного (детерминированного) тренда, то получим все равно нестационарный процесс — стохастический тренд.

Интегрированность и единичные корни

Понятие интегрированного временного ряда тесно связано с единичными корнями в авторегрессионных моделях. Наличие единичных корней в характеристическом полиноме авторегрессионной составляющей модели временного ряда означает интегрированность временного ряда. Причем количество единичных корней совпадает с порядком интегрированности.