Предел числовой последовательности

Предел числовой последовательности

10.03.2021

Предел числовой последовательности — предел последовательности элементов числового пространства. Числовое пространство — это метрическое пространство, расстояние в котором определяется как модуль разности между элементами. Поэтому, число a {displaystyle a} называется пределом последовательности { x n } {displaystyle {x_{n}}} , если для любого ε > 0 {displaystyle varepsilon >0} существует номер N ε {displaystyle N_{varepsilon }} , зависящий от ε {displaystyle varepsilon } , такой, что для любого n > N ε {displaystyle n>N_{varepsilon }} выполняется неравенство   | x n − a | < ε {displaystyle |x_{n}-a|<varepsilon } .

В случае комплексных чисел существование предела последовательности равносильно существованию пределов соответствующих последовательностей вещественных и мнимых частей комплексных чисел.

Предел (числовой последовательности) — одно из основных понятий математического анализа. Каждое вещественное число может быть представлено как предел последовательности приближений к нужному значению. Система счисления предоставляет такую последовательность уточнений. Целые и рациональные числа описываются периодическими последовательностями приближений, в то время как иррациональные числа описываются непериодическими последовательностями приближений. В численных методах, где используется представление чисел с конечным числом знаков, особую роль играет выбор системы приближений. Критерием качества системы приближений является скорость сходимости. В этом отношении, оказываются эффективными представления чисел в виде цепных дробей.

История

Понятие предела последовательности использовалось ещё Ньютоном во второй половине XVII века и математиками XVIII века, такими как Эйлер и Лагранж, однако они понимали предел интуитивно. Первые строгие определения предела последовательности дали Больцано в 1816 году и Коши в 1821 году.

Определение

Число a ∈ R {displaystyle ain mathbb {R} } называется пределом числовой последовательности { x n } {displaystyle {x_{n}}} , если последовательность { x n − a } {displaystyle {x_{n}-a}} является бесконечно малой, то есть все её элементы, начиная с некоторого, по модулю меньше любого заранее взятого положительного числа.

lim n → ∞ x n = a   ⇔   ∀ ε > 0   ∃ N ( ε ) ∈ N :   n ⩾ N   ⇒ | x n − a | < ε {displaystyle lim _{n o infty }x_{n}=a~Leftrightarrow ~forall varepsilon >0~exists N(varepsilon )in mathbb {N} colon ~ngeqslant N~Rightarrow |x_{n}-a|<varepsilon }

Если число a ∈ R {displaystyle ain mathbb {R} } является пределом числовой последовательности { x n } {displaystyle {x_{n}}} , то говорят также, что последовательность { x n } {displaystyle {x_{n}}} сходится к a {displaystyle a} . Если никакое вещественное число не является пределом последовательности { x n } {displaystyle {x_{n}}} , её называют расходящейся.

Для некоторых последовательностей предел полагают равным бесконечности. А именно, говорят, что последовательность { x n } {displaystyle {x_{n}}} стремится к бесконечности, если для любого вещественного числа все члены последовательности, начиная с некоторого, оказываются по модулю больше этого числа. Формально,

lim n → ∞ x n = ∞   ⇔   ∀ E > 0   ∃ N ( E ) ∈ N :   ∀ n ⩾ N ⇒ | x n | > E {displaystyle lim _{n o infty }x_{n}=infty ~Leftrightarrow ~forall E>0~exists N(E)in mathbb {N} colon ~forall ngeqslant NRightarrow |x_{n}|>E}

Кроме того, если все элементы стремящейся к бесконечности последовательности, начиная с некоторого номера, имеют положительный знак, то говорят, что предел такой последовательности равен плюс бесконечности.

lim n → ∞ x n = + ∞   ⇔   ∀ E > 0   ∃ N ( E ) ∈ N :   ∀ n ⩾ N ⇒ x n > E {displaystyle lim _{n o infty }x_{n}=+infty ~Leftrightarrow ~forall E>0~exists N(E)in mathbb {N} colon ~forall ngeqslant NRightarrow x_{n}>E}

Если же элементы стремящейся к бесконечности последовательности, начиная с некоторого номера, имеют отрицательный знак, то говорят, что предел такой последовательности равен минус бесконечности.

lim n → ∞ x n = − ∞   ⇔   ∀ E > 0   ∃ N ( E ) ∈ N :   ∀ n ⩾ N ⇒ x n < − E {displaystyle lim _{n o infty }x_{n}=-infty ~Leftrightarrow ~forall E>0~exists N(E)in mathbb {N} colon ~forall ngeqslant NRightarrow x_{n}<-E}

Любая последовательность, стремящаяся к бесконечности — неограниченная. Однако обратное неверно.

Частичный предел последовательности — это предел одной из её подпоследовательностей.

Верхний предел последовательности — это наибольшая из её предельных точек.

Нижний предел последовательности — это наименьшая из её предельных точек.

Обозначения

Тот факт, что последовательность { x n } {displaystyle {x_{n}}} сходится к числу a {displaystyle a} обозначается одним из следующих способов:

  • lim n → ∞ x n = a {displaystyle lim _{n o infty }x_{n}=a}

или

  • x n   → n → ∞   a {displaystyle x_{n}~{xrightarrow[{n o infty }]{}}~a}

Свойства

Существуют определённые особенности для предела последовательностей вещественных чисел.

Можно дать альтернативные определения предела последовательности. Например, называть пределом число, в любой окрестности которого содержится бесконечно много элементов последовательности, в то время, как вне таких окрестностей содержится лишь конечное число элементов. Таким образом, пределом последовательности может быть только предельная точка множества её элементов. Это определение согласуется с общим определением предела для топологических пространств.

Это определение обладает неустранимым недостатком: оно объясняет, что такое предел, но не даёт ни способа его вычисления, ни информации о его существовании. Всё это выводится из доказываемых ниже свойств предела.

Свойства

Арифметические свойства

  • взятия предела числовой последовательности является линейным, то есть проявляет два свойства линейных отображений.
    • Аддитивность. Предел суммы числовых последовательностей есть сумма их пределов, если каждый из них существует. lim n → ∞ ( x n + y n ) = lim n → ∞ x n + lim n → ∞ y n {displaystyle lim _{n o infty }(x_{n}+y_{n})=lim _{n o infty }x_{n}+lim _{n o infty }y_{n}}
    • Однородность. Константу можно выносить из-под знака предела. ∀ k ∈ R : lim n → ∞ k x n = k lim n → ∞ x n {displaystyle forall kin mathbb {R} colon lim _{n o infty }kx_{n}=klim _{n o infty }x_{n}}
  • Предел произведения числовых последовательностей факторизуется на произведение пределов, если каждый из них существует. lim n → ∞ ( x n ⋅ y n ) = lim n → ∞ x n ⋅ lim n → ∞ y n {displaystyle lim _{n o infty }(x_{n}cdot y_{n})=lim _{n o infty }x_{n}cdot lim _{n o infty }y_{n}}
  • Предел отношения числовых последовательностей есть отношение их пределов, если эти пределы существуют и последовательность-делитель не является бесконечно малой. lim n → ∞ x n y n = lim n → ∞ x n lim n → ∞ y n {displaystyle lim _{n o infty }{frac {x_{n}}{y_{n}}}={frac {lim limits _{n o infty }x_{n}}{lim limits _{n o infty }y_{n}}}}

Свойства сохранения порядка

  • Если все элементы сходящейся последовательности, начиная с некоторого номера, не превышают некоторого числа, то и предел этой последовательности также не превышает этого числа. ∃ N ∈ N   ∀ n ⩾ N : x n ⩽ a   ⇒   lim n → ∞ x n ⩽ a {displaystyle exists Nin mathbb {N} ~forall ngeqslant Ncolon x_{n}leqslant a~Rightarrow ~lim _{n o infty }x_{n}leqslant a}
  • Если некоторое число не превышает все элементы сходящейся последовательности, начиная с некоторого номера, то оно также не превышает и предела этой последовательности. ∃ N ∈ N   ∀ n ⩾ N : x n ⩾ a   ⇒   lim n → ∞ x n ⩾ a {displaystyle exists Nin mathbb {N} ~forall ngeqslant Ncolon x_{n}geqslant a~Rightarrow ~lim _{n o infty }x_{n}geqslant a}
  • Если некоторое число строго превышает все элементы сходящейся последовательности, начиная с некоторого номера, то предел этой последовательности не превышает этого числа. ∃ N ∈ N   ∀ n ⩾ N : x n < a   ⇒   lim n → ∞ x n ⩽ a {displaystyle exists Nin mathbb {N} ~forall ngeqslant Ncolon x_{n}<a~Rightarrow ~lim _{n o infty }x_{n}leqslant a}
  • Если все элементы сходящейся последовательности, начиная с некоторого номера, строго превышают некоторое число, то это число не превышает предела этой последовательности. ∃ N ∈ N   ∀ n ⩾ N : x n > a   ⇒   lim n → ∞ x n ⩾ a {displaystyle exists Nin mathbb {N} ~forall ngeqslant Ncolon x_{n}>a~Rightarrow ~lim _{n o infty }x_{n}geqslant a}
  • Если, начиная с некоторого номера, все элементы одной сходящейся последовательности не превышают соответствующих элементов другой сходящейся последовательности, то и предел первой последовательности не превышает предела второй. ∃ N ∈ N   ∀ n ⩾ N : x n ⩽ y n   ⇒   lim n → ∞ x n ⩽ lim n → ∞ y n {displaystyle exists Nin mathbb {N} ~forall ngeqslant Ncolon x_{n}leqslant y_{n}~Rightarrow ~lim _{n o infty }x_{n}leqslant lim _{n o infty }y_{n}}
  • Для числовых последовательностей справедлива теорема о двух милиционерах (принцип двустороннего ограничения). ∃ N ∈ N   ∀ n ⩾ N : x n ⩽ z n ⩽ y n   ⇒   lim n → ∞ x n ⩽ lim n → ∞ z n ⩽ lim n → ∞ y n {displaystyle exists Nin mathbb {N} ~forall ngeqslant Ncolon x_{n}leqslant z_{n}leqslant y_{n}~Rightarrow ~lim _{n o infty }x_{n}leqslant lim _{n o infty }z_{n}leqslant lim _{n o infty }y_{n}}

Другие свойства

  • Сходящаяся числовая последовательность имеет только один предел. lim n → ∞ x n = a   ∧   lim n → ∞ x n = b   ⇒   a = b {displaystyle lim _{n o infty }x_{n}=a~land ~lim _{n o infty }x_{n}=b~Rightarrow ~a=b}
  • Замкнутость. Если все элементы сходящейся числовой последовательности лежат на некотором отрезке, то на этом же отрезке лежит и её предел. ∀ n ∈ N : x n ∈ [ a ,   b ]   ⇒   lim n → ∞ x n ∈ [ a ,   b ] {displaystyle forall nin mathbb {N} colon x_{n}in [a,~b]~Rightarrow ~lim _{n o infty }x_{n}in [a,~b]}
  • Предел последовательности из одного и того же числа равен этому числу. lim n → ∞ x = x {displaystyle lim _{n o infty }x=x}
  • Замена или удаление конечного числа элементов в сходящейся числовой последовательности не влияет на её предел.
  • У возрастающей ограниченной сверху последовательности есть предел. То же верно для убывающей ограниченной снизу последовательности.
  • Имеет место теорема Штольца.
  • Если у последовательности x n {displaystyle x_{n}} существует предел, то последовательность средних арифметических x 1 + ⋯ + x n n {displaystyle {frac {x_{1}+dots +x_{n}}{n}}} имеет тот же предел (следствие из теоремы Штольца).
  • Если у последовательности чисел { x n } {displaystyle {x_{n}}} существует предел x {displaystyle x} , и если задана функция f ( x ) {displaystyle f(x)} , определённая для каждого x n {displaystyle x_{n}} и непрерывная в точке x {displaystyle x} , то lim n → ∞ f ( x n ) = f ( x ) {displaystyle lim _{n o infty }{f(x_{n})}=f(x)}

Примеры

  • lim n → ∞ 1 n = lim n → ∞ ( − 1 ) n n = 0 {displaystyle lim _{n o infty }{frac {1}{n}}=lim _{n o infty }{frac {(-1)^{n}}{n}}=0}
  • ∀ q ∈ R : lim n → ∞ q n n ! = 0 {displaystyle forall qin mathbb {R} colon lim _{n o infty }{frac {q^{n}}{n!}}=0}
  • lim n → ∞ n n = 1 {displaystyle lim _{n o infty }{sqrt[{n}]{n}}=1}
  • lim n → ∞ ( 1 + 1 n ) n = e {displaystyle lim _{n o infty }left(1+{frac {1}{n}} ight)^{n}=e}
  • ∀ a ∈ R ∖ { 0 } : lim n → ∞ a + a + ⋯ + a ⏟ n = 1 + 1 + 4 a 2 {displaystyle forall ain mathbb {R} setminus {0}colon lim _{n o infty }underbrace {sqrt {a+{sqrt {a+cdots +{sqrt {a}}}}}} _{n}={frac {1+{sqrt {1+4a}}}{2}}}
  • lim n → ∞ x n = x   ⇒   lim n → ∞ ∏ k = 1 n x k n = x {displaystyle lim _{n o infty }x_{n}=x~Rightarrow ~lim _{n o infty }{sqrt[{n}]{prod _{k=1}^{n}x_{k}}}=x}
  • ∀ n ∈ N : x n > 0   ⇒   lim n → ∞ x n + 1 x n = lim n → ∞ x n n {displaystyle forall nin mathbb {N} colon x_{n}>0~Rightarrow ~lim _{n o infty }{frac {x_{n+1}}{x_{n}}}=lim _{n o infty }{sqrt[{n}]{x_{n}}}}
  • lim n → ∞ n = + ∞ {displaystyle lim _{n o infty }n=+infty }
  • ∄ lim n → ∞ ( − 1 ) n {displaystyle exists lim _{n o infty }(-1)^{n}}

Случай комплексных чисел

Комплексное число a {displaystyle a} называется пределом последовательности { z n } {displaystyle {z_{n}}} , если для любого положительного числа ε {displaystyle varepsilon } можно указать такой номер N = N ( ε ) {displaystyle N=N(varepsilon )} , начиная с которого все элементы z n {displaystyle z_{n}} этой последовательности удовлетворяют неравенству
| z n − a | < ε {displaystyle |z_{n}-a|<varepsilon } при n ⩾ N ( ε ) {displaystyle ngeqslant N(varepsilon )}

Последовательность { z n } {displaystyle {z_{n}}} , имеющая предел a {displaystyle a} , называется сходящейся к числу a {displaystyle a} , что записывается в виде lim n → ∞ z n = a {displaystyle lim limits _{n o infty }z_{n}=a} .

Примеры

Не у всякой ограниченной последовательности существует предел. Например, если взять в качестве пространства множество вещественных чисел со стандартной топологией, а в качестве x n {displaystyle x_{n}} последовательность x n = ( − 1 ) n {displaystyle x_{n}=(-1)^{n}} , то у неё не будет предела (однако у неё можно найти верхний и нижний пределы, 1 , − 1 {displaystyle 1,-1} , то есть пределы её подпоследовательностей — частичные пределы).