Вероятностное пространство

Вероятностное пространство

11.03.2021

Вероятностное пространство — понятие, введённое А. Н. Колмогоровым в 30-х годах XX века для формализации понятия вероятности, которое дало начало бурному развитию теории вероятностей как строгой математической дисциплины.

История возникновения понятия

В 1904 году Анри Лебег опубликовал свой курс, посвящённый интегральному исчислению. В нём французский математик обстоятельно рассмотрел понятие интеграла, осветил его эволюцию с момента изобретения этого понятия Ньютоном и Лейбницем до начала 20 века. В конце этого курса Лебег приводит своё определение интеграла. Приведённая им конструкция впоследствии станет известна под названием интеграл Лебега.

Такие термины, как сигма-алгебра, борелевские множества появились уже в трудах Лебега с отсылкой к работам Бореля, который ранее уже исследовал вопросы топологии прямой и понял, что исследуемые им множества также имеют значение для аксиоматизации теории вероятности.

В 1933 Андрей Колмогоров в своей работе «Основные понятия теории вероятностей» вводит систему аксиом, известную ныне как аксиоматика Колмогорова, которая описывает схему, позволяющую работать с широким классом случайных процессов не описываемых существовавшими до этого преимущественно дискретными схемами.

Колмогоров отмечает, что Лебег своей работой показал всем новую грань понятия интеграла — с его помощью можно определить математическое ожидание случайной величины в случае континуальной мощности множества элементарных исходов, а также в случае континуального непрерывного времени. Аксиомы Колмогорова позволяют отделить множества, на которых можно использовать аппарат современной теории вероятностей. Множествами, для которых заранее неизвестно, выполняются ли на них некоторые из аксиом, занимается математическая статистика, которая выносит заключение о применимости аксиоматики исходя из наблюдаемой выборки элементов множества.

Определение

Вероятностное пространство — это тройка ( Ω , A , P ) {displaystyle (Omega ,{mathfrak {A}},mathbb {P} )}

  • Ω {displaystyle Omega } — произвольное непустое множество, элементы которого называются элементарными событиями, исходами или точками;
  • A {displaystyle {mathfrak {A}}} — сигма-алгебра подмножеств Ω {displaystyle Omega } , называемых (случайными) событиями;
  • P {displaystyle mathbb {P} } — вероятностная мера или вероятность, то есть сигма-аддитивная конечная мера, такая что P ( Ω ) = 1 {displaystyle mathbb {P} (Omega )=1} .

Замечания

  • Элементарные события (элементы Ω {displaystyle Omega } ), по определению, — это исходы случайного эксперимента, из которых в эксперименте происходит ровно один.
  • Каждое случайное событие (элемент A {displaystyle {mathfrak {A}}} ) — это подмножество Ω {displaystyle Omega } . Говорят, что в результате эксперимента произошло случайное событие A ⊆ Ω {displaystyle Asubseteq Omega } , если (элементарный) исход эксперимента является элементом A {displaystyle A} .
    Требование, что A {displaystyle {mathfrak {A}}} является сигма-алгеброй подмножеств Ω {displaystyle Omega } , позволяет, в частности, говорить о вероятности случайного события, являющегося объединением счётного числа элементарных событий, а также о вероятности дополнения любого события.

Частные случаи вероятностных пространств

Классическое вероятностное пространство

Пусть Ω = { ω 1 , … , ω n } {displaystyle Omega ={omega _{1},ldots ,omega _{n}}} — конечное множество, содержащее | Ω | = n {displaystyle vert Omega vert =n} элементов. В качестве сигма-алгебры удобно взять семейство подмножеств Ω {displaystyle Omega } . Его часто символически обозначают 2 Ω {displaystyle 2^{Omega }} . Легко показать, что общее число членов этого семейства, то есть число различных случайных событий, как раз равно 2 | Ω | {displaystyle 2^{vert Omega vert }} , что объясняет обозначение. Вероятностью события полагают отношение числа элементарных исходов для этого события к общему числу исходов:

P ( A ) = n A n {displaystyle mathbb {P} (A)={frac {n_{A}}{n}}} ,

где A ⊂ Ω {displaystyle Asubset Omega } , и | A | = n A {displaystyle vert Avert =n_{A}} — число элементарных исходов, принадлежащих A {displaystyle A} . В частности, вероятность любого элементарного события:

P ( { ω } ) = 1 n , ∀ ω ∈ Ω . {displaystyle mathbb {P} ({omega })={frac {1}{n}},;forall omega in Omega .}

Пример

Рассмотрим эксперимент с бросанием уравновешенной монеты. Естественным будет взять два события: выпадение герба ( Γ {displaystyle Gamma } ) и выпадение решки ( P {displaystyle mathrm {P} } ), то есть Ω = { Γ , P } . {displaystyle Omega ={Gamma ,mathrm {P} }.} Тогда A = { { Γ } , { P } , { Γ , P } , ∅ } , {displaystyle {mathfrak {A}}={{Gamma },{mathrm {P} },{Gamma ,mathrm {P} },varnothing },} и вероятность можно посчитать следующим образом:

P ( { Γ } ) = 1 2 , P ( { P } ) = 1 2 , P ( { Γ , P } ) = 1 , P ( ∅ ) = 0. {displaystyle mathbb {P} ({Gamma })={frac {1}{2}},;mathbb {P} ({mathrm {P} })={frac {1}{2}},;mathbb {P} ({Gamma ,mathrm {P} })=1,;mathbb {P} (varnothing )=0.}

Таким образом определена тройка ( Ω , A , P ) {displaystyle (Omega ,{mathfrak {A}},mathbb {P} )} — вероятностное пространство, в рамках которого можно рассматривать различные задачи.

Дискретные вероятностные пространства

Пусть Ω = { ω 1 , … , ω n , … } {displaystyle Omega ={omega _{1},ldots ,omega _{n},ldots }} — счетное множество, A {displaystyle {mathfrak {A}}} — набор всех подмножеств Ω {displaystyle Omega } . Пусть p k {displaystyle p_{k}} , k = 1 , 2 , … , {displaystyle k=1,2,ldots ,} — неотрицательные числа такие, что ∑ k = 1 ∞ p k = 1 {displaystyle sum _{k=1}^{infty }p_{k}=1} . Тогда для любого события A ∈ A {displaystyle Ain {mathfrak {A}}} положим P ( A ) = ∑ k ∈ { i | ω i ∈ A } p k {displaystyle mathbb {P} left(A ight)=sum _{kin {i|omega _{i}in A}}p_{k}}

Если p k = 0 {displaystyle p_{k}=0} при k > n {displaystyle k>n} , то имеем конечное пространство элементарных исходов Ω = { ω 1 , … , ω n } {displaystyle Omega ={omega _{1},ldots ,omega _{n}}} . В случае p 1 = p 2 = ⋯ = p n = 1 n {displaystyle p_{1}=p_{2}=cdots =p_{n}={frac {1}{n}}} получаем классическое определение вероятности.

Геометрические вероятности

Пусть Ω {displaystyle Omega } — ограниченное множество n {displaystyle n} -мерного евклидова пространства, обладающее объёмом. Пусть A {displaystyle {mathfrak {A}}} — система подмножеств Ω {displaystyle Omega } , имеющих объём. Тогда для любого события A ∈ A {displaystyle Ain {mathfrak {A}}} положим

P ( A ) = μ ( A ) μ ( Ω ) {displaystyle mathbb {P} left(A ight)={frac {mu left(A ight)}{mu left(Omega ight)}}} где μ ( C ) {displaystyle mu left(C ight)} — объём множества C {displaystyle C} .