Яма с бесконечными стенками

Яма с бесконечными стенками

11.03.2021

Яма с бесконечными стенками, в квантовой механике, представляет собой модель частицы, заключённую в «ящике» определённой формы. В одномерном случае этот ящик представляет собой конечный отрезок. Внутри отрезка потенциал считается нулевым. Во всех остальных точках вещественной прямой потенциал обращается в бесконечность. Математически это обычно отражают в граничных условиях, считая, что волновые функции обращаются в нуль на концах отрезка. Данный потенциал является предельным случаем прямоугольной квантовой ямы. В многомерном случае потенциал считается равным нулю внутри некоторой области, на границах которой ставятся граничные условия Дирихле. Часто рассматривают прямоугольную область (прямоугольный «ящик»).

Одномерная потенциальная яма с бесконечными стенками

Потенциал одномерной потенциальной ямы с бесконечными стенками имеет вид

U ( x ) = { 0 , x ∈ ( − a 2 , a 2 ) , ∞ , x ∉ ( − a 2 , a 2 ) {displaystyle U(x)={egin{cases}0,&xin (-{frac {a}{2}},{frac {a}{2}}),infty ,&x otin (-{frac {a}{2}},{frac {a}{2}})end{cases}}}

Стационарное уравнение Шрёдингера на интервале ( − a 2 , a 2 ) {displaystyle left(-{frac {a}{2}},{frac {a}{2}} ight)}

− ℏ 2 2 m Ψ ″ ( x ) = E Ψ ( x ) . {displaystyle -{frac {hbar ^{2}}{2m}}Psi '(x)=EPsi (x).}

С учётом обозначения k = 2 m E / ℏ 2 {displaystyle k={sqrt {2mE/hbar ^{2}}}} , оно примет вид:

Ψ ″ ( x ) + k 2 Ψ ( x ) = 0. {displaystyle Psi '(x)+k^{2}Psi (x)=0.}

Общее решение удобно представить в виде линейной оболочки чётных и нечётных функций:

Ψ ( x ) = C + cos ⁡ k x + C − sin ⁡ k x . {displaystyle Psi (x)=C^{+}cos kx+C^{-}sin kx.}

Граничные значения имеют вид:

Ψ ( − a 2 ) = Ψ ( a 2 ) = 0. {displaystyle Psi left(-{frac {a}{2}} ight)=Psi left({frac {a}{2}} ight)=0.}

Они приводят к однородной системе линейных уравнений:

{ C + cos ⁡ k a 2 + C − sin ⁡ k a 2 = 0 , C + cos ⁡ k a 2 − C − sin ⁡ k a 2 = 0 , {displaystyle {egin{cases}C^{+}cos {frac {ka}{2}}+C^{-}sin {frac {ka}{2}}=0,C^{+}cos {frac {ka}{2}}-C^{-}sin {frac {ka}{2}}=0,end{cases}}}

которая имеет нетривиальные решения при условии равенства нулю её определителя:

− 2 cos ⁡ k a 2 sin ⁡ k a 2 = 0 , {displaystyle -2cos {frac {ka}{2}}sin {frac {ka}{2}}=0,}

что после тригонометрических преобразований принимает вид:

sin ⁡ k a = 0. {displaystyle sin ka=0.}

Корни этого уравнения имеют вид

k n = π n a , n ∈ Z + . {displaystyle k_{n}={frac {pi n}{a}},qquad nin mathbb {Z} _{+}.}

Подставляя в систему, имеем:

C n − = 0 , n = 2 n 0 + 1 , n 0 ∈ Z + , {displaystyle C_{n}^{-}=0,qquad n=2n_{0}+1,qquad n_{0}in mathbb {Z} _{+},} C n + = 0 , n = 2 n 0 , n 0 ∈ Z + . {displaystyle C_{n}^{+}=0,qquad n=2n_{0},qquad n_{0}in mathbb {Z} _{+}.}

Таким образом, решения распадаются на две серии — чётных и нечётных решений:

Ψ n 0 + ( x ) = C 2 n 0 + 1 + cos ⁡ ( 2 n 0 + 1 ) π x a , n 0 ∈ Z + , {displaystyle Psi _{n_{0}}^{+}(x)=C_{2n_{0}+1}^{+}cos {frac {(2n_{0}+1)pi x}{a}},qquad n_{0}in mathbb {Z} _{+},} Ψ n 0 − ( x ) = C 2 n 0 − sin ⁡ 2 n 0 π x a , n 0 ∈ Z + . {displaystyle Psi _{n_{0}}^{-}(x)=C_{2n_{0}}^{-}sin {frac {2n_{0}pi x}{a}},qquad n_{0}in mathbb {Z} _{+}.}

Тот факт, что решения разбиваются на чётные и нечётные связан с тем, что потенциал сам по себе является чётной функцией. С учётом нормировки

∫ − a 2 a 2 ( Ψ n 0 ± ( x ) ) 2 d x = 1 , {displaystyle int limits _{-{frac {a}{2}}}^{frac {a}{2}}left(Psi _{n_{0}}^{pm }(x) ight)^{2}dx=1,}

получим явный вид нормировочных множителей:

C 2 n 0 + 1 + = C 2 n 0 − = 2 a . {displaystyle C_{2n_{0}+1}^{+}=C_{2n_{0}}^{-}={sqrt {frac {2}{a}}}.}

В результате получим собственные функции гамильтониана:

Ψ n 0 + ( x ) = 2 a cos ⁡ ( 2 n 0 + 1 ) π x a , n 0 ∈ Z + , {displaystyle Psi _{n_{0}}^{+}(x)={sqrt {frac {2}{a}}}cos {frac {(2n_{0}+1)pi x}{a}},qquad n_{0}in mathbb {Z} _{+},} Ψ n 0 − ( x ) = 2 a sin ⁡ 2 n 0 π x a , n 0 ∈ Z + , {displaystyle Psi _{n_{0}}^{-}(x)={sqrt {frac {2}{a}}}sin {frac {2n_{0}pi x}{a}},qquad n_{0}in mathbb {Z} _{+},}

с соответствующим энергетическим спектром:

E n 0 + = ℏ 2 π 2 ( 2 n 0 + 1 ) 2 2 m a 2 {displaystyle E_{n_{0}}^{+}={frac {hbar ^{2}pi ^{2}(2n_{0}+1)^{2}}{2ma^{2}}}} E n 0 − = ℏ 2 π 2 ( 2 n 0 ) 2 2 m a 2 {displaystyle E_{n_{0}}^{-}={frac {hbar ^{2}pi ^{2}(2n_{0})^{2}}{2ma^{2}}}}