Главная
Новости
Строительство
Ремонт
Дизайн и интерьер
Полезные советы




05.05.2021


05.05.2021


01.05.2021


23.04.2021


22.04.2021





Яндекс.Метрика





Клеточность

25.03.2021

Клеточность (число Суслина) — топологическая характеристика топологического пространства X {displaystyle X} , определяющаяся максимальным количеством открытых попарно непересекающихся множеств из X {displaystyle X} . Является кардинальным инвариантом и обозначается c ( X ) {displaystyle c(X)} .

Как и для многих общетопологических инвариантов, конечная клеточность не представляет интереса; считается, что она не менее, чем счётна (то есть ℵ 0 {displaystyle aleph _{0}} ).

Наследственность

Не является наследственным инвариантом, то есть подпространство U ⊆ X {displaystyle Usubseteq X} может иметь клеточность большую, чем c ( X ) {displaystyle c(X)} . Для примера достаточно точку 0 {displaystyle 0} в отрезке [ 0 , 1 ] {displaystyle [0,1]} размножить несчётное число раз, тогда подпространство из размноженных нулей будет иметь большую клеточность, чем отрезок, то есть больше ℵ 0 {displaystyle aleph _{0}} , то есть ℵ 0 = c ( X ) < h c ( X ) = c {displaystyle aleph _{0}=c(X)<hc(X)={mathfrak {c}}} . Другой пример ненаследования клеточности — плоскость Немыцкого.

Связь с другими инвариантами

Клеточность пространства не превосходит его плотность (которая, в свою очередь, не превосходит веса): c ( X ) ⩽ d ( X ) ⩽ w ( X ) {displaystyle c(X)leqslant d(X)leqslant w(X)} . Также клеточность не превосходит спреда (который также не превосходит веса): c ( X ) ⩽ h c ( X ) ⩽ w ( X ) {displaystyle c(X)leqslant hc(X)leqslant w(X)} .

Для линейно упорядоченных пространств их характер не превосходит клеточности: χ ( X ) ⩽ c ( X ) {displaystyle chi (X)leqslant c(X)} . Кроме того, для линейно упорядоченных пространств клеточность совпадает со спредом и наследственным числом Линделёфа: c ( X ) = h c ( X ) = h l ( X ) {displaystyle c(X)=hc(X)=hl(X)} .

Не превосходят клеточность топологического пространства X {displaystyle X} его число Линделёфа и экстент (в свою очередь, не превосходящий число Линделёфа): e ( X ) ⩽ l ( X ) ⩽ c ( X ) {displaystyle e(X)leqslant l(X)leqslant c(X)} .

Примеры

Для вещественной прямой R {displaystyle mathbb {R} } : c ( R ) = ℵ 0 {displaystyle c(mathbb {R} )=aleph _{0}} . Для натуральных и целых чисел: c ( Z ) = c ( N ) = ℵ 0 {displaystyle c(mathbb {Z} )=c(mathbb {N} )=aleph _{0}} .

Для дискретного пространства мощности τ {displaystyle au } : c ( D τ ) = τ {displaystyle c(D_{ au })= au } .

Для ежа колючести τ {displaystyle au } : c ( J ( τ ) ) = τ {displaystyle c(J( au ))= au } . (При τ ⩾ ℵ 0 {displaystyle au geqslant aleph _{0}} (достаточно взять по открытому множеству в каждой «иголке», не выходящему за «иголку»).

В целом для подпространства U {displaystyle U} из евклидова пространства R n {displaystyle mathbb {R} ^{n}} : c ( U ) ⩽ ℵ 0 {displaystyle c(U)leqslant aleph _{0}} .