Главная
Новости
Строительство
Ремонт
Дизайн и интерьер
Полезные советы




06.08.2021


26.07.2021


10.07.2021


10.07.2021


06.07.2021





Яндекс.Метрика





Групповой объект

26.09.2021

Групповой объект — это обобщение понятия группы на объект произвольной категории, во многих случаях групповой объект можно понимать как группу с дополнительной структурой. Типичный пример — топологическая группа, имеющая структуру топологического пространства, согласующуюся с групповой структурой, в том смысле, что групповая операция непрерывна.

Определение

Пусть C — категория с терминальным объектом 1, в которой для любых двух объектов существует их произведение. Групповой объект в C — это объект G категории C вместе с тройкой морфизмов:

  • m : G × GG (морфизм, соответствующий «групповой операции»)
  • e : 1 → G («вложение тождественного элемента»)
  • inv: GG («взятие обратного элемента»),

для которых должны выполняться следующие свойства (соответствующие аксиомам группы):

  • m ассоциативен, то есть m ∘ ( m × i d G ) {displaystyle mcirc (m imes mathrm {id} _{G})} и m ∘ ( i d G × m ) {displaystyle mcirc (mathrm {id} _{G} imes m)} — один и тот же морфизм G × G × G → G {displaystyle G imes G imes G o G} (здесь мы каноническим образом отождествляем ( G × G ) × G {displaystyle (G imes G) imes G} и G × ( G × G ) {displaystyle G imes (G imes G)} );
  • e является двусторонне нейтральным элементом, то есть m ∘ ( e × i d G ) = p 2 , {displaystyle mcirc (e imes mathrm {id} _{G})=p_{2},} где p 2 : 1 × G → G {displaystyle p_{2}:1 imes G o G} — естественная проекция на второй множитель, и m ∘ ( i d G × e ) = p 1 , {displaystyle mcirc (mathrm {id} _{G} imes e)=p_{1},} где p 1 : G × 1 → G {displaystyle p_{1}:G imes 1 o G} — естественная проекция на первый множитель;
  • обратный элемент действительно является обратным, то есть, если d : GG × G — диагональное отображение, а eG : GG — композиция единственного морфизма G → 1 и морфизма e, то m ∘ ( i d G × i n v ) ∘ d = m ∘ ( i n v × i d G ) ∘ d = e G . {displaystyle mcirc (mathrm {id} _{G} imes mathrm {inv} )circ d=mcirc (mathrm {inv} imes mathrm {id} _{G})circ d=e_{G}.}

Примеры

  • Группы — это в точности групповые объекты в категории множеств. Здесь m — бинарная операция умножения, e — функция, отправляющая множество-синглетон в тождественный элемент группы, inv сопоставляет элементу группы обратный элемент, а eG отправляет все элементы группы в тождественный.
  • Топологическая группа — групповой объект в категории топологических пространств и непрерывных отображений.
  • Группа Ли — групповой объект в категории гладких многообразий и гладких отображений.
  • Алгебраическая группа — групповой объект в категории алгебраических многообразий и регулярных отображений. В современной алгебраической геометрии рассматривают также более общее понятие групповой схемы — группового объекта в категории схем.
  • Групповые объекты в категории групп — это в точности абелевы группы. Действительно, если G — абелева группа, то m, e и inv, определённые обычным образом, удовлетворяют свойствам группового объекта (в частности, из абелевости группы G следует, что inv является гомоморфизмом). Обратно, если (G, m, e, inv) — групповой объект в категории групп, можно доказать, что операция m совпадает с изначальной операцией на группе G, из чего следует, что e и inv также определены обычным образом. См. также аргумент Экманна — Хилтона.
  • Если C — категория с конечными копроизведениями (в частности, с начальным объектом 0, являющимся копроизведением пустого множества объектов), когрупповой объект категории C — это объект G вместе со следующими морфизмами: «коумножением» m: GG ⊕ {displaystyle oplus } G, «коединицей» e: G → 0 и «кообращением» inv: GG, которые удовлетворяют аксиомам, двойственным к перечисленным выше аксиомам группового объекта. Когрупповые объекты естественно возникают в алгебраической топологии.

Имя:*
E-Mail:
Комментарий: