Главная
Новости
Строительство
Ремонт
Дизайн и интерьер
Полезные советы




24.11.2021


19.11.2021


18.11.2021


17.11.2021


16.11.2021





Яндекс.Метрика





Фундаментальный класс

26.09.2021

Фундаментальным классом называется гомологический класс ориентированного многообразия, который соответствует «целому многообразию». Интуитивно фундаментальный класс можно себе представить как сумму симплексов максимальной размерности подходящей триангуляции многообразия.

Фундаментальный класс многообразия M {displaystyle M} обычно обозначается [ M ] {displaystyle [M]} .

Определение

Замкнутое ориентируемое многообразие

Если многообразие M {displaystyle M} размерности n {displaystyle n} является связным ориентируемым и замкнутым, то n {displaystyle n} -ая группа гомологий является бесконечной циклической: H n ( M , Z ) ≅ Z {displaystyle H_{n}(M,mathbb {Z} )cong mathbb {Z} } . При этом, ориентация многообразия определяется выбором порождающего элемента группы или изоморфизма Z → H n ( M , Z ) {displaystyle mathbb {Z} o H_{n}(M,mathbb {Z} )} . Порождающий элемент называется фундаментальным классом.

Если ориентируемое многообразие M = ⋃ i M i {displaystyle M=igcup limits _{i}M_{i}} является несвязным, то в качестве фундаментального класса формально можно сопоставить сумму ∑ i [ M i ] {displaystyle sum limits _{i}[M_{i}]} фундаментальных классов всех его связных компонент M i {displaystyle M_{i}} . Сопоставление формально, поскольку эта сумма не является порождающим элементом для группы H n ( M , Z ) = ⨁ i H n ( M i , Z ) = Z ⊕ ⋯ ⊕ Z {displaystyle H_{n}(M,mathbb {Z} )=igoplus limits _{i}H_{n}(M_{i},mathbb {Z} )=mathbb {Z} oplus dots oplus mathbb {Z} } .

Неориентируемое многообразие

Для неориентируемого многообразия группа H n ( M ; Z ) = 0 {displaystyle H_{n}(M;mathbb {Z} )=0} , если при этом M {displaystyle M} является связным и замкнутым, то H n ( M ; Z 2 ) = Z 2 {displaystyle H_{n}(M;mathbb {Z} _{2})=mathbb {Z} _{2}} . Порождающий элемент группы H n ( M ; Z 2 ) {displaystyle H_{n}(M;mathbb {Z} _{2})} называется фундаментальным классом неориентируемого многообразия M {displaystyle M} .

Z 2 {displaystyle mathbb {Z} _{2}} -фундаментальный класс многообразия используется при определении чисел Штифеля — Уитни.

Многообразие с краем

Если M {displaystyle M} является компактным ориентируемым многообразием с краем ∂ M {displaystyle partial M} , то n {displaystyle n} -я относительная группа гомологий является бесконечной циклической: H n ( M , ∂ M ) ≅ Z {displaystyle H_{n}(M,partial M)cong mathbb {Z} } . Порождающий элемент группы H n ( M , ∂ M ) {displaystyle H_{n}(M,partial M)} называется фундаментальным классом многообразия с краем.

Двойственность Пуанкаре

Главный результат гомологической теории многообразий составляет двойственность Пуанкаре между группами гомологий и когомологий многообразия. Соответствующий изоморфизм Пуанкаре

D : H k ( M ; Z ) → H n − k ( M ; Z ) {displaystyle D:H^{k}(M;mathbb {Z} ) o H_{n-k}(M;mathbb {Z} )} (для ориентируемого)

и

D : H k ( M ; Z 2 ) → H n − k ( M ; Z 2 ) {displaystyle D:H^{k}(M;mathbb {Z} _{2}) o H_{n-k}(M;mathbb {Z} _{2})} (для неориентируемого)

многообразия определяется соответствующим фундаментальным классом многообразия:

D ( α ) = [ M ] ⌢ α {displaystyle D(alpha )=[M]frown alpha } ,

где ⌢ {displaystyle frown } обозначает ⌢ {displaystyle frown } -умножение гомологических и когомологических классов.

Степень отображения

Пусть M {displaystyle M} , N {displaystyle N} — связные замкнутые ориентированные многообразия одной размерности. Если f : M → N {displaystyle f:M o N} — непрерывное отображение, то

f ∗ [ M ] = k [ N ] {displaystyle f_{ast }[M]=k[N]} ,

где f ∗ {displaystyle f_{ast }} — индуцированный f {displaystyle f} гомоморфизм (групповых колец), а k = deg ⁡ ( f ) {displaystyle k=deg(f)} — степень отображения f {displaystyle f} .


Имя:*
E-Mail:
Комментарий: