Главная
Группа перестановок ранга 3 действует транзитивно на множестве так, что стабилизатор точки имеет 3 орбиты. Изучение этих групп начал Дональд Хигман. Некоторые спорадические простые группы были открыты как группы перестановок ранга 3.
Классификация
Примитивные группы перестановок ранга 3 распадаются на следующие классы:
- Камерон классифицировал группы, такие, что T × T ⩽ G ⩽ T 0 wr Z / 2 Z {displaystyle T imes Tleqslant Gleqslant T_{0}operatorname {wr} Z/2Z} , где цоколь T группы T0 прост, а T0 является 2-транзитивной группой степени n {displaystyle {sqrt {n}}} .
- Либек классифицировал группы с регулярными элементарными абелевыми нормальными подгруппами
- Баннай классифицировал группы, цоколь которых является простой знакопеременной группой
- Кантор классифицировал группы, цоколь которых является простой классической группой
- Либек и Саксл классифицировали группы, цоколь которых является простой классической исключительной или спорадической группой
Пример
Если G — любая 4-транзитивная группа, действующая на множестве S, то её действие на пары элементов S является группой перестановок ранга 3. В частности, большинство знакопеременных групп, симметрических групп и групп Матьё имеют 4-транзитивные действия, а потому принадлежат группам перестановок ранга 3.
Проективная полная линейная группа, действующая на прямые в проективном пространстве размерности как минимум 3, является группой перестановок ранга 3.
Некоторые группы 3-перестановок являются группами перестановок ранга 3 (по действию на перестановки).
Как правило, точечный стабилизатор группы перестановок ранга 3, действующий на одну из орбит, является группой перестановок ранга 3. Это даёт некоторые «цепочки» групп перестановок ранга 3, такие как цепочка Судзуки и цепочка, завершающаяся группами Фишера.
Некоторые необычные группы перестановок ранга 3 перечислены ниже (многие из них взяты из работы Либека и Саксла).
Для каждой строки таблицы ниже, в столбце «размер» число слева от знака равно показателю группы перестановок перестановочной группы для группы перестановок, упомянутой в строке. Сумма справа от знака равно показывает длину трёх орбит стабилизаторов точки группы перестановок. Например, выражение 15 = 1+6+8 в первой строке таблицы означает, что группа перестановок имеет показатель 15 и длины трёх орбит стабилизаторов точки группы перестановок равны 1, 6 и 8 соответственно.