Трижды скрученный ромбоикосододекаэдр

Трижды скрученный ромбоикосододекаэдр

08.11.2020

Трижды скрученный ромбоикосододекаэдр — один из многогранников Джонсона (J75, по Залгаллеру — 3М6+М13).

Составлен из 62 граней: 20 правильных треугольников, 30 квадратов и 12 правильных пятиугольников. Среди пятиугольных граней 3 окружены пятью квадратными, 3 — четырьмя квадратными и треугольной, остальные 6 — тремя квадратными и двумя треугольными; среди квадратных граней 3 окружены двумя пятиугольными и двумя квадратными, 3 — двумя пятиугольными и двумя треугольными, 9 — двумя пятиугольными, квадратной и треугольной, остальные 15 — пятиугольной, квадратной и двумя треугольными; среди треугольных граней 5 окружены тремя квадратными, остальные 15 — пятиугольной и двумя квадратными.

Имеет 120 рёбер одинаковой длины. 45 рёбер располагаются между пятиугольной и квадратной гранями, 15 рёбер — между пятиугольной и треугольной, 15 рёбер — между двумя квадратными, остальные 45 — между квадратной и треугольной.

У трижды скрученного ромбоикосододекаэдра 60 вершин. В каждой сходятся пятиугольная, две квадратных и треугольная грани.

Трижды скрученный ромбоикосододекаэдр можно получить из ромбоикосододекаэдра, выбрав в нём три части — любые три попарно не пересекающихся пятискатных купола (J5), — и повернув каждый на 36° вокруг его оси симметрии. Объём и площадь поверхности при этом не изменятся; описанная и полувписанная сферы полученного многогранника также совпадают с описанной и полувписанной сферами исходного ромбоикосододекаэдра.

Метрические характеристики

Если трижды скрученный ромбоикосододекаэдр имеет ребро длины a {displaystyle a} , его площадь поверхности и объём выражаются как

S = ( 30 + 5 3 + 3 25 + 10 5 ) a 2 ≈ 59,305 9828 a 2 , {displaystyle S=left(30+5{sqrt {3}}+3{sqrt {25+10{sqrt {5}}}} ight)a^{2}approx 59{,}3059828a^{2},} V = 1 3 ( 60 + 29 5 ) a 3 ≈ 41,615 3238 a 3 . {displaystyle V={frac {1}{3}}left(60+29{sqrt {5}} ight)a^{3}approx 41{,}6153238a^{3}.}

Радиус описанной сферы (проходящей через все вершины многогранника) при этом будет равен

R = 1 2 11 + 4 5 a ≈ 2,232 9505 a ; {displaystyle R={frac {1}{2}}{sqrt {11+4{sqrt {5}}}};aapprox 2{,}2329505a;}

радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —

ρ = 1 2 10 + 4 5 a ≈ 2,176 2509 a . {displaystyle ho ={frac {1}{2}}{sqrt {10+4{sqrt {5}}}};aapprox 2{,}1762509a.}