Теорема Картана — Дьёдонне

Теорема Картана — Дьёдонне

08.11.2020

Теорема Картана — Дьёдонне — теорема, названная в честь французских математиков Эли Жозефа Картана и Жана Дьёдонне. Теорема касается структуры автоморфизмов пространства, снабжённого симметричной билинейной формой (например, евклидова пространства).

Формулировка теоремы

Пусть (V, b) — n-мерное векторное пространство (над полем, характеристика которого не равна 2) с невырожденной симметричной билинейной формой. Тогда каждый элемент ортогональной группы O(V, b) представляется в виде композиции не более чем n симметрий относительно гиперплоскостей.

Следствие теоремы

Если T {displaystyle T} — ортогональное преобразование в R ( 3 ) {displaystyle R^{(3)}} и | T | = 1 {displaystyle |T|=1} , то существует вектор ν ≠ 0 {displaystyle u eq 0} такой, что T ν = ν {displaystyle T_{ u }= u } .