Скалярная кривизна

Скалярная кривизна

09.11.2020

Скалярная кривизна R — один из инвариантов риманова многообразия, получаемый свёрткой тензора Риччи с метрическим тензором:

R = g μ ν R μ ν {displaystyle R,=g^{mu u },R_{mu u }}

Таким образом, скалярная кривизна есть след тензора Риччи.

Уравнения гравитационного поля

В общей теории относительности функционал действия для гравитационного поля выражается посредством интеграла по четырёхмерному объему от скалярной кривизны:

S G = ϰ ∫ M R − g d Ω {displaystyle S_{G}=varkappa int limits _{M}R{sqrt {-g}}dOmega }

Поэтому уравнения гравитационного поля могут быть получены путём взятия производной Эйлера — Лагранжа от скалярной плотности кривизны − g R {displaystyle {sqrt {-g}},R} .

Свойства

  • Для двумерных римановых многообразий скалярная кривизна совпадает с удвоенной гауссовой кривизной многообразия.
    • Интеграл по гауссовой кривизне равен эйлеровой характеристике поверхности умноженной на 2 π {displaystyle 2pi } — это утверждение составляет суть теоремы Гаусса — Бонне.