Область целостности

Область целостности (или целостное кольцо, или область цельности или просто область) — понятие коммутативной алгебры: ассоциативное коммутативное кольцо без делителей нуля (произведение никакой пары ненулевых элементов не равно 0).

Эта статья следует соглашению о том, что области целостности имеют мультипликативный нейтральный элемент, обычно обозначаемый как 1, но некоторые авторы не требуют, чтобы области целостности имели мультипликативный нейтральный элемент.

Эквивалентное определение: область целостности — это коммутативное кольцо, в котором нулевой идеал {0} является простым. Любая область целостности является подкольцом своего поля частных.

Примеры

• Простейший пример области целостности — кольцо целых чисел Z {displaystyle mathbb {Z} } .
• Любое поле является областью целостности. С другой стороны, любая артинова область целостности есть поле. В частности, все конечные области целостности суть конечные поля.
• Кольцо многочленов с коэффициентами из некоторого целостного кольца также является целостным. Например, целостными будут кольцо Z [ x ] {displaystyle mathbb {Z} [x]} многочленов одной переменной с целочисленными коэффициентами и кольцо R [ x , y ] {displaystyle mathbb {R} [x,y]} многочленов двух переменных с вещественными коэффициентами. Также является целостным кольцо формальных степенных рядов с коэффициентами из целостного кольца.
• Множество действительных чисел вида a + b 2 {displaystyle a+b{sqrt {2}}} есть подкольцо поля R {displaystyle mathbb {R} } , а значит, и область целостности. То же самое можно сказать про множество комплексных чисел вида a + b i {displaystyle a+bi} , где a {displaystyle a} и b {displaystyle b} целые (множество гауссовых целых чисел).
• Пусть U {displaystyle U} — связное открытое подмножество комплексной плоскости C {displaystyle mathbb {C} } . Тогда кольцо H ( U ) {displaystyle H(U)} всех голоморфных функций f : U → C {displaystyle f:U ightarrow mathbb {C} } будет целостным. То же самое верно для любого кольца аналитических функций, определённых на связном подмножестве аналитического многообразия.
• Если K {displaystyle K} — коммутативное кольцо, а I {displaystyle I} — идеал в K {displaystyle K} , то факторкольцо K / I {displaystyle K/I} целостное тогда и только тогда, когда I {displaystyle I} — простой идеал.

Делимость, простые и неприводимые элементы

Пусть a {displaystyle a} и b {displaystyle b} — элементы целостного кольца K {displaystyle K} . Говорят, что « a {displaystyle a} делит b {displaystyle b} » или « a {displaystyle a} — делитель b {displaystyle b} » (и пишут a ∣ b {displaystyle amid b} ), тогда и только тогда, когда существует элемент x ∈ K {displaystyle xin K} такой, что a x = b {displaystyle ax=b} .

Делимость транзитивна: если a {displaystyle a} делит b {displaystyle b} и b {displaystyle b} делит c {displaystyle c} , то a {displaystyle a} делит c {displaystyle c} . Если a {displaystyle a} делит b {displaystyle b} и c {displaystyle c} , то a {displaystyle a} делит также их сумму b + c {displaystyle b+c} и разность b − c {displaystyle b-c} .

Для кольца K {displaystyle K} с единицей делители единицы, то есть элементы a ∈ K {displaystyle ain K} , делящие 1, называются также (алгебраическими) единицами. Они и только они в K {displaystyle K} имеют обратный элемент, так что делители единицы называются также обратимыми элементами. Обратимые элементы делят все остальные элементы кольца.

Элементы a {displaystyle a} и b {displaystyle b} называются ассоциированными, если a {displaystyle a} делит b {displaystyle b} и b {displaystyle b} делит a {displaystyle a} . a {displaystyle a} и b {displaystyle b} ассоциированны тогда и только тогда, когда a = b e {displaystyle a=be} , где e {displaystyle e} — обратимый элемент.

Ненулевой элемент q {displaystyle q} , не являющийся единицей, называется неприводимым, если его нельзя разложить в произведение двух элементов, не являющихся обратимыми.

Ненулевой необратимый элемент p {displaystyle p} называется простым, если из того, что p ∣ a b {displaystyle pmid ab} , следует p ∣ a {displaystyle pmid a} или p ∣ b {displaystyle pmid b} . Это определение обобщает понятие простого числа в кольце Z {displaystyle mathbb {Z} } , однако учитывает и отрицательные простые числа. Если p {displaystyle p} — простой элемент кольца, то порождаемый им главный идеал ( p ) {displaystyle (p)} будет простым. Любой простой элемент неприводим, но обратное верно не во всех областях целостности.

Свойства

• Любое поле, а также любое кольцо с единицей, содержащееся в некотором поле, является областью целостности.
  • Обратно, любая область целостности может быть вложена в некоторое поле. Такое вложение даёт конструкция поля частных.
• Прямое произведение колец никогда не бывает областью целостности, так как единица первого кольца, умноженная на единицу второго кольца, даст 0.
• Тензорное произведение целостных колец тоже будет целостным кольцом.
• Характеристика области целостности является либо нулём, либо простым числом.

Вариации и обобщения

Иногда в определении области целостности не требуют коммутативности. Примерами некоммутативных областей целостности являются тела, а также подкольца тел, содержащие единицу, например целые кватернионы. Однако неверно, что любая некоммутативная область целостности может быть вложена в некоторое тело.