Формулы сокращённого умножения многочленов

Формулы сокращённого умножения многочленов — часто встречающиеся случаи умножения многочленов. Многие из них являются частным случаем бинома Ньютона. Изучаются в средней школе в курсе алгебры.

Формулы для квадратов

( a ± b ) 2 = a 2 ± 2 a b + b 2 {displaystyle (apm b)^{2}=a^{2}pm 2ab+b^{2}}
a 2 − b 2 = ( a + b ) ( a − b ) {displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)}
( a + b + c ) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2 a b + 2 a c + 2 b c {displaystyle left(a+b+c ight)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2ac+2bc}

Формулы для кубов

( a ± b ) 3 = a 3 ± 3 a 2 b + 3 a b 2 ± b 3 {displaystyle (apm b)^{3}=a^{3}pm 3a^{2}b+3ab^{2}pm b^{3}}
a 3 ± b 3 = ( a ± b ) ( a 2 ∓ a b + b 2 ) {displaystyle a^{3}pm b^{3}=(apm b)(a^{2}mp ab+b^{2})}
( a + b + c ) 3 = a 3 + b 3 + c 3 + 3 a 2 b + 3 a 2 c + 3 a b 2 + 3 a c 2 + 3 b 2 c + 3 b c 2 + 6 a b c {displaystyle left(a+b+c ight)^{3}=a^{3}+b^{3}+c^{3}+3a^{2}b+3a^{2}c+3ab^{2}+3ac^{2}+3b^{2}c+3bc^{2}+6abc}

Формулы для четвёртой степени

( a ± b ) 4 = a 4 ± 4 a 3 b + 6 a 2 b 2 ± 4 a b 3 + b 4 {displaystyle (apm b)^{4}=a^{4}pm 4a^{3}b+6a^{2}b^{2}pm 4ab^{3}+b^{4}}
a 4 − b 4 = ( a − b ) ( a + b ) ( a 2 + b 2 ) {displaystyle a^{4}-b^{4}=(a-b)(a+b)(a^{2}+b^{2})} (выводится из a 2 − b 2 {displaystyle a^{2}-b^{2}} )

Формулы для n-ой степени

a n − b n = ( a − b ) ( a n − 1 + a n − 2 b + a n − 3 b 2 + . . . + a 2 b n − 3 + a b n − 2 + b n − 1 ) {displaystyle a^{n}-b^{n}=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}+...+a^{2}b^{n-3}+ab^{n-2}+b^{n-1})}
a 2 n − b 2 n = ( a + b ) ( a 2 n − 1 − a 2 n − 2 b + a 2 n − 3 b 2 − . . . − a 2 b 2 n − 3 + a b 2 n − 2 − b 2 n − 1 ) {displaystyle a^{2n}-b^{2n}=(a+b)(a^{2n-1}-a^{2n-2}b+a^{2n-3}b^{2}-...-a^{2}b^{2n-3}+ab^{2n-2}-b^{2n-1})} , где n ∈ N {displaystyle nin N}
a 2 n − b 2 n = ( a n + b n ) ( a n − b n ) {displaystyle a^{2n}-b^{2n}=(a^{n}+b^{n})(a^{n}-b^{n})}
a 2 n + 1 + b 2 n + 1 = ( a + b ) ( a 2 n − a 2 n − 1 b + a 2 n − 2 b 2 − . . . + a 2 b 2 n − 2 − a b 2 n − 1 + b 2 n ) {displaystyle a^{2n+1}+b^{2n+1}=(a+b)(a^{2n}-a^{2n-1}b+a^{2n-2}b^{2}-...+a^{2}b^{2n-2}-ab^{2n-1}+b^{2n})} , где n ∈ N {displaystyle nin N}

Некоторые свойства формул

( a − b ) 2 n = ( b − a ) 2 n {displaystyle (a-b)^{2n}=(b-a)^{2n}} , где n ∈ N {displaystyle nin N}
( a − b ) 2 n + 1 = − ( b − a ) 2 n + 1 {displaystyle (a-b)^{2n+1}=-(b-a)^{2n+1}} , где n ∈ N {displaystyle nin N}