Аддитивные сет-функции и меры

Аддитивные сет-функции и меры

10.11.2020

Сет-функция — действительная числовая функция f :  2 Ω →   R {displaystyle f{mbox{: }}2^{Omega } ightarrow mathbb {R} } , определенная на 2 Ω   {displaystyle 2^{Omega } } — множестве всех подмножеств некоторого произвольного конечного множества Ω   {displaystyle Omega } измеримого пространства ( Ω , F ) {displaystyle (Omega ,{mathcal {F}})} и принимающая свои значения на числовой оси R {displaystyle mathbb {R} } .


Аддитивная сет-функция — сет-функция, для которой выполняется равенство:

f ( x ∪ y ) + f ( x ∩ y ) = f ( x ) + f ( y ) {displaystyle f(xcup y)+f(xcap y)=f(x)+f(y)}

для любых подмножеств x ⊆ Ω {displaystyle xsubseteq Omega } и y ⊆ Ω {displaystyle ysubseteq Omega } .


Мера — аддитивная сет-функция, для которой верно: f ( ∅ ) = 0 {displaystyle f(emptyset )=0} .

Значение любой меры f   {displaystyle f } на произвольном подмножестве x ⊆ Ω {displaystyle xsubseteq Omega } можно представить в виде суммы её значений на моноплетах { ω } : ω ∈ x {displaystyle {omega }:omega in x} :

f ( x ) = ∑ ω ∈ x f ( { ω } ) ,  x ⊆ Ω {displaystyle f(x)=sum _{omega in x}f({omega }){mbox{, }}xsubseteq Omega } .

Считается, что ∑ ω ∈ ∅ f ( { ω } ) = 0 , ∏ ω ∈ ∅ f ( { ω } ) = 1 {displaystyle sum _{omega in emptyset }f({omega })=0,prod _{omega in emptyset }f({omega })=1} .