Многочлены Шура

Многочлены Шура — названные в честь И. Шура симметрические многочлены от n {displaystyle n} переменных специального вида, параметризованные разбиениями неотрицательных целых чисел в сумму n {displaystyle n} неупорядоченных слагаемых, или, что то же самое, диаграммами Юнга с не более, чем n {displaystyle n} столбцами. Коэффициенты их задания как многочленов от элементарных симметрических многочленов Ньютона связаны со значениями характеров соответствующих представлений симметрической группы S n {displaystyle S_{n}} .

Формальное определение

Многочлен Шура степени d {displaystyle d} , соответствующий разбиению d = d 1 + ⋯ + d n , d 1 ≥ ⋯ ≥ d n ≥ 0 , {displaystyle d=d_{1}+dots +d_{n},quad d_{1}geq dots geq d_{n}geq 0,} равен

s ( d 1 , … , d n ) ( x 1 , … , x n ) = det ( x i d j + n − j ) i , j = 1 n det ( x i n − j ) i , j = 1 n . {displaystyle s_{(d_{1},dots ,d_{n})}(x_{1},dots ,x_{n})={frac {det(x_{i}^{d_{j}+n-j})_{i,j=1}^{n}}{det(x_{i}^{n-j})_{i,j=1}^{n}}}.}

Связь с представлениями симметрической группы

Многочлен Шура s λ ( x 1 , … , x n ) {displaystyle s_{lambda }(x_{1},dots ,x_{n})} , соответствующий диаграмме Юнга λ = ( λ 1 , … , λ n ) {displaystyle lambda =(lambda _{1},dots ,lambda _{n})} , выражается через элементарные симметрические многочлены Ньютона p k ( x 1 , … , x n ) = ∑ j x j k {displaystyle p_{k}(x_{1},dots ,x_{n})=sum _{j}x_{j}^{k}} с коэффициентами, выражающимися через значения характера χ λ {displaystyle chi _{lambda }} соответствующего λ {displaystyle lambda } представления симметрической группы S n {displaystyle S_{n}} . А именно,

s λ = ∑ ρ = ( 1 r 1 , 2 r 2 , 3 r 3 , … ) χ λ ( ρ ) ⋅ ∏ k p k r k r k ! , {displaystyle s_{lambda }=sum _{ ho =(1^{r_{1}},2^{r_{2}},3^{r_{3}},dots )}chi ^{lambda }( ho )cdot prod _{k}{frac {p_{k}^{r_{k}}}{r_{k}!}},}

где запись ρ = ( 1 r 1 , 2 r 2 , 3 r 3 , … ) {displaystyle ho =(1^{r_{1}},2^{r_{2}},3^{r_{3}},dots )} означает, что в классе сопряжённости ρ {displaystyle ho } в разложении подстановки на непересекающиеся циклы имеется r j {displaystyle r_{j}} циклов длины j {displaystyle j} .