Главная
Новости
Строительство
Ремонт
Дизайн и интерьер
Полезные советы




05.05.2021


05.05.2021


01.05.2021


23.04.2021


22.04.2021





Яндекс.Метрика





Кососимметричная матрица

20.01.2021

Кососимметричная (кососимметрическая или антисимметричная) матрица — квадратная матрица A {displaystyle A} над полем k {displaystyle k} характеристики, отличной от 2, удовлетворяющая соотношению:

A T = − A , {displaystyle A^{T}=-A,}

где A T {displaystyle A^{T}} — транспонированная матрица.

Для n × n {displaystyle n imes n} матрицы A {displaystyle A} это соотношение эквивалентно:

a i , j = − a j , i {displaystyle a_{i,j}={}-a_{j,i}} для всех i , j = 1 , 2 , … , n {displaystyle i,j=1,2,ldots ,n} ,

где a i , j {displaystyle a_{i,j}} — элемент i {displaystyle i} -ой строки и j {displaystyle j} -го столбца матрицы A {displaystyle A} .

Свойства

  • Ранг кососимметрической матрицы всегда чётный.
  • Любая квадратная матрица В над полем характеристики, отличной от 2, есть сумма симметрической и кососимметрической матриц, которые определяются единственным образом.
  • Ненулевые корни характеристического многочлена вещественной кососимметрической матрицы — чисто мнимые числа.
  • Вещественная кососимметрическая матрица подобна блочно-диагональной матрице с нулевыми диагональными блоками и диагональными блоками 2 × 2 {displaystyle 2 imes 2} вида
( 0 a − a 0 ) {displaystyle {egin{pmatrix}0&a-a&0end{pmatrix}}} .
  • Множество всех кососимметрических матриц порядка n {displaystyle n} над полем k {displaystyle k} образует алгебру Ли над k {displaystyle k} относительно сложения матриц и коммутирования:
[ A , B ] = A B − B A {displaystyle [A,B]=AB-BA} .