Главная
Новости
Строительство
Ремонт
Дизайн и интерьер
Полезные советы




05.05.2021


05.05.2021


01.05.2021


23.04.2021


22.04.2021





Яндекс.Метрика





Преобразование Конторовича — Лебедева

08.04.2021

Преобразование Конторовича — Лебедева — интегральное преобразование, задаваемое для функции f ( x ) {displaystyle f(x)} формулой:

F ( τ ) = ∫ 0 ∞ f ( x ) K i τ ( x ) d x , {displaystyle F( au )=int _{0}^{infty }f(x)K_{i au }(x)dx,}

где K ν ( x ) {displaystyle K_{ u }(x)} — функция Макдональда. Обратное преобразование имеет вид:

f ( x ) = 2 π 2 x ∫ 0 ∞ K i τ ( x ) τ s h π τ F ( τ ) d τ , x > 0. {displaystyle f(x)={frac {2}{pi ^{2}x}}int _{0}^{infty }K_{i au }(x); au ;mathrm {sh} ,pi au ;F( au );d au ,qquad x>0.}

Впервые данное преобразование было рассмотрено М. И. Конторовичем и Н. Н. Лебедевым в 1938 году.

Другие определения

Иногда преобразование Конторовича — Лебедева определяют в более симметричной форме:

F s ( τ ) = ∫ 0 ∞ f ( x ) K i τ ( x ) x d x , τ ⩾ 0 , {displaystyle F^{s}( au )=int _{0}^{infty }f(x){frac {K_{i au }(x)}{sqrt {x}}}dx,qquad au geqslant 0,} f ( x ) = ∫ 0 ∞ F s ( τ ) 2 τ s h π τ π 2 K i τ ( x ) x d τ , x > 0. {displaystyle f(x)=int _{0}^{infty }F^{s}( au ){frac {2 au mathrm {sh} ,pi au }{pi ^{2}}}{frac {K_{i au }(x)}{sqrt {x}}}d au ,qquad x>0.}

Ещё одним вариантом определения является:

F a ( τ ) = 2 τ s h π τ π 2 ∫ 0 ∞ f ( x ) K i τ ( x ) x d x , τ ⩾ 0 , {displaystyle F^{a}( au )={frac {2 au mathrm {sh} ,pi au }{pi ^{2}}}int _{0}^{infty }f(x){frac {K_{i au }(x)}{x}}dx,qquad au geqslant 0,} f ( x ) = ∫ 0 ∞ F a ( τ ) K i τ ( x ) d τ , x > 0. {displaystyle f(x)=int _{0}^{infty }F^{a}( au )K_{i au }(x)d au ,qquad x>0.}

Условия обратимости

Пусть функция f ( x ) {displaystyle f(x)} является непрерывной вместе со своей производной, удовлетворяющая условиями x f ( x ) , x 2 f ( x ) ∈ L ( 0 , + ∞ ) {displaystyle xf(x),x^{2}f(x)in L(0,+infty )} , тогда она может быть получена из своего образа F ( τ ) {displaystyle F( au )} посредством обратного преобразования:

f ( x ) = 2 π 2 x ∫ 0 ∞ K i τ ( x ) τ s h π τ F ( τ ) d τ . {displaystyle f(x)={frac {2}{pi ^{2}x}}int _{0}^{infty }K_{i au }(x); au ;mathrm {sh} ,pi au ;F( au );d au .}

Более общая формула обращения может быть получена, если f ( x ) {displaystyle f(x)} имеет ограниченное изменение в точке x 0 > 0 {displaystyle x_{0}>0} и

f ( x ) ln ⁡ x ∈ L ( 0 , 1 2 ) , f ( x ) x ∈ L ( 1 2 , ∞ ) , {displaystyle f(x)ln xin Lleft(0,{frac {1}{2}} ight),f(x){sqrt {x}}in Lleft({frac {1}{2}},infty ight),}

тогда:

f ( x 0 + 0 ) + f ( x 0 − 0 ) 2 = 2 π 2 x 0 ∫ 0 ∞ K i τ ( x 0 ) τ s h π τ F ( τ ) d τ {displaystyle {frac {f(x_{0}+0)+f(x_{0}-0)}{2}}={frac {2}{pi ^{2}x_{0}}}int _{0}^{infty }K_{i au }(x_{0}); au ;mathrm {sh} ,pi au ;F( au );d au } ,

в частности если, кроме того, для любого x {displaystyle x} выполнено:

f ( x + 0 ) + f ( x − 0 ) 2 = f ( x ) {displaystyle {frac {f(x+0)+f(x-0)}{2}}=f(x)} ,

то

f ( x ) = 2 π 2 x ∫ 0 ∞ K i τ ( x ) τ s h π τ F ( τ ) d τ . {displaystyle f(x)={frac {2}{pi ^{2}x}}int _{0}^{infty }K_{i au }(x); au ;mathrm {sh} ,pi au ;F( au );d au .} .

Теорема Парсеваля

Для преобразования Конторовича — Лебедева справедлив аналог теоремы Парсеваля:

Пусть g ( x ) {displaystyle g(x)} — вещественная функция, удовлетворяющая условиям:

  • g ( x ) x − 3 4 ∈ L ( 0 , + ∞ ) , {displaystyle g(x)x^{-{frac {3}{4}}}in L(0,+infty ),}
  • g ( x ) ∈ L 2 ( 0 , + ∞ ) , {displaystyle g(x)in L_{2}(0,+infty ),}
G ( τ ) = ∫ 0 ∞ g ( x ) 2 τ s h π τ π K i τ ( x ) x d x {displaystyle G( au )=int _{0}^{infty }g(x){frac {sqrt {2 au mathrm {sh} ,pi au }}{pi }}{frac {K_{i au }(x)}{sqrt {x}}}dx}

тогда

∫ 0 ∞ ( G ( τ ) ) 2 d τ = ∫ 0 ∞ ( g ( x ) ) 2 d x . {displaystyle int _{0}^{infty }left(G( au ) ight)^{2}d au =int _{0}^{infty }left(g(x) ight)^{2}dx.}

Справедлива и более общая теорема:

Пусть g i ( x ) , i = 1 , 2 {displaystyle g_{i}(x),quad i=1,2} — две вещественные функции, удовлетворяющая условиям:

  • g i ( x ) x − 3 4 ∈ L ( 0 , + ∞ ) , {displaystyle g_{i}(x)x^{-{frac {3}{4}}}in L(0,+infty ),}
  • g i ( x ) ∈ L 2 ( 0 , + ∞ ) , {displaystyle g_{i}(x)in L_{2}(0,+infty ),}
G i ( τ ) = ∫ 0 ∞ g i ( x ) 2 τ s h π τ π K i τ ( x ) x d x {displaystyle G_{i}( au )=int _{0}^{infty }g_{i}(x){frac {sqrt {2 au mathrm {sh} ,pi au }}{pi }}{frac {K_{i au }(x)}{sqrt {x}}}dx}

тогда

∫ 0 ∞ G 1 ( τ ) G 2 ( τ ) d τ = ∫ 0 ∞ g 1 ( x ) g 2 ( x ) d x . {displaystyle int _{0}^{infty }G_{1}( au )G_{2}( au )d au =int _{0}^{infty }g_{1}(x)g_{2}(x)dx.}

Таблица преобразований

Конечное преобразование Конторовича — Лебедева

Конечное преобразование Конторовича — Лебедева имеет вид:

F α ( τ ) = 2 τ s h π τ π 2 | I i α ( α ) | 2 ∫ 0 α ( K i τ ( α ) I i τ ( x ) − K i τ ( x ) I i τ ( α ) ) f ( x ) d x x , τ > 0 {displaystyle F_{alpha }( au )={frac {2 au mathrm {sh} ,pi au }{pi ^{2}|I_{ialpha }(alpha )|^{2}}}int _{0}^{alpha }left(K_{i au }(alpha )I_{i au }(x)-K_{i au }(x)I_{i au }(alpha ) ight)f(x){frac {dx}{x}},quad au >0}

где I ν ( x ) {displaystyle I_{ u }(x)} — функция Инфельда.