Главная
Фундаментальным классом называется гомологический класс ориентированного многообразия, который соответствует «целому многообразию». Интуитивно фундаментальный класс можно себе представить как сумму симплексов максимальной размерности подходящей триангуляции многообразия.
Фундаментальный класс многообразия M {displaystyle M} обычно обозначается [ M ] {displaystyle [M]} .
Определение
Замкнутое ориентируемое многообразие
Если многообразие M {displaystyle M} размерности n {displaystyle n} является связным ориентируемым и замкнутым, то n {displaystyle n} -ая группа гомологий является бесконечной циклической: H n ( M , Z ) ≅ Z {displaystyle H_{n}(M,mathbb {Z} )cong mathbb {Z} } . При этом, ориентация многообразия определяется выбором порождающего элемента группы или изоморфизма Z → H n ( M , Z ) {displaystyle mathbb {Z} o H_{n}(M,mathbb {Z} )} . Порождающий элемент называется фундаментальным классом.
Если ориентируемое многообразие M = ⋃ i M i {displaystyle M=igcup limits _{i}M_{i}} является несвязным, то в качестве фундаментального класса формально можно сопоставить сумму ∑ i [ M i ] {displaystyle sum limits _{i}[M_{i}]} фундаментальных классов всех его связных компонент M i {displaystyle M_{i}} . Сопоставление формально, поскольку эта сумма не является порождающим элементом для группы H n ( M , Z ) = ⨁ i H n ( M i , Z ) = Z ⊕ ⋯ ⊕ Z {displaystyle H_{n}(M,mathbb {Z} )=igoplus limits _{i}H_{n}(M_{i},mathbb {Z} )=mathbb {Z} oplus dots oplus mathbb {Z} } .
Неориентируемое многообразие
Для неориентируемого многообразия группа H n ( M ; Z ) = 0 {displaystyle H_{n}(M;mathbb {Z} )=0} , если при этом M {displaystyle M} является связным и замкнутым, то H n ( M ; Z 2 ) = Z 2 {displaystyle H_{n}(M;mathbb {Z} _{2})=mathbb {Z} _{2}} . Порождающий элемент группы H n ( M ; Z 2 ) {displaystyle H_{n}(M;mathbb {Z} _{2})} называется фундаментальным классом неориентируемого многообразия M {displaystyle M} .
Z 2 {displaystyle mathbb {Z} _{2}} -фундаментальный класс многообразия используется при определении чисел Штифеля — Уитни.
Многообразие с краем
Если M {displaystyle M} является компактным ориентируемым многообразием с краем ∂ M {displaystyle partial M} , то n {displaystyle n} -я относительная группа гомологий является бесконечной циклической: H n ( M , ∂ M ) ≅ Z {displaystyle H_{n}(M,partial M)cong mathbb {Z} } . Порождающий элемент группы H n ( M , ∂ M ) {displaystyle H_{n}(M,partial M)} называется фундаментальным классом многообразия с краем.
Двойственность Пуанкаре
Главный результат гомологической теории многообразий составляет двойственность Пуанкаре между группами гомологий и когомологий многообразия. Соответствующий изоморфизм Пуанкаре
D : H k ( M ; Z ) → H n − k ( M ; Z ) {displaystyle D:H^{k}(M;mathbb {Z} ) o H_{n-k}(M;mathbb {Z} )} (для ориентируемого)и
D : H k ( M ; Z 2 ) → H n − k ( M ; Z 2 ) {displaystyle D:H^{k}(M;mathbb {Z} _{2}) o H_{n-k}(M;mathbb {Z} _{2})} (для неориентируемого)многообразия определяется соответствующим фундаментальным классом многообразия:
D ( α ) = [ M ] ⌢ α {displaystyle D(alpha )=[M]frown alpha } ,где ⌢ {displaystyle frown } обозначает ⌢ {displaystyle frown } -умножение гомологических и когомологических классов.
Степень отображения
Пусть M {displaystyle M} , N {displaystyle N} — связные замкнутые ориентированные многообразия одной размерности. Если f : M → N {displaystyle f:M o N} — непрерывное отображение, то
f ∗ [ M ] = k [ N ] {displaystyle f_{ast }[M]=k[N]} ,где f ∗ {displaystyle f_{ast }} — индуцированный f {displaystyle f} гомоморфизм (групповых колец), а k = deg ( f ) {displaystyle k=deg(f)} — степень отображения f {displaystyle f} .