Главная
Новости
Строительство
Ремонт
Дизайн и интерьер
Полезные советы




15.07.2022


19.02.2022


19.02.2022


18.02.2022


16.02.2022


14.02.2022





Яндекс.Метрика





Характер представления группы

18.11.2021

Характер представления группы — функция на группе, возвращающая след (сумму диагональных элементов) матрицы, соответствующей данному элементу в представлении.

Обычно обозначаются буквой χ {displaystyle chi } .

Изучением представлений через их характеры занимается теория характеров.

Определение

Если f {displaystyle f} — конечномерное представление группы G {displaystyle G} , то характер этого представления — это функция из G {displaystyle G} во множество комплексных чисел, заданная следом линейного преобразования, соответствующего элементу G {displaystyle G} . Вообще говоря, след не является гомоморфизмом, а множество следов не образует группы.

Свойства

  • Характеры эквивалентных представлений совпадают.
  • Изоморфные представления имеют одинаковые характеры.
  • Характеры неприводимых не изоморфных между собой представлений конечной группы образуют ортонормированную систему функций.
  • Скалярный квадрат характера неприводимого представления равен единице.
  • Характер приводимого представления равен сумме характеров всех неприводимых представлений, которые в нем встречаются.
  • Два представления, имеющие одинаковые характеры, эквивалентны.
  • Если представление приводимо, то скалярный квадрат его характера больше единицы.
  • У взаимно-сопряжённых элементов группы a {displaystyle a} и b − 1 a b {displaystyle b^{-1}ab} характеры равны.
  • Совокупность характеров всех неприводимых представлений является полной в линейном пространстве функций, определённых на классах сопряжённых элементов.
  • Для любого элемента группы a ∈ G {displaystyle ain G} χ ( a − 1 ) = χ ( a ) ¯ {displaystyle chi (a^{-1})={overline {chi (a)}}} .
  • Для того, чтобы представление было неприводимым, необходимо и достаточно, чтобы скалярный квадрат его характера был равен 1 {displaystyle 1} .

Имя:*
E-Mail:
Комментарий: