Главная
Новости
Строительство
Ремонт
Дизайн и интерьер
Полезные советы




15.07.2022


19.02.2022


19.02.2022


18.02.2022


16.02.2022


14.02.2022





Яндекс.Метрика





Фазовый интеграл

02.01.2022

Фазовый интеграл (англ. phase integral) — один из фундаментальных интегралов квантовой механики, впервые предложенный Фейнманом в начале 1960-х годов. Подобно интегралу по траекториям этот интеграл позволяет находить смещение фазы, обусловленное влиянием какого-то поля. Например, влияние магнитного поля на движение квантовой частицы приводит к смещению фазы:

Δ φ H = e ℏ c ∫ S ( A , d l ) , {displaystyle Delta varphi _{H}={frac {e}{hbar c}}int _{S}(mathbf {A} ,dmathbf {l} ),}

где e {displaystyle e} — заряд электрона, c {displaystyle c} — скорость света в вакууме, ℏ {displaystyle hbar } — приведённая постоянная Планка, A {displaystyle mathbf {A} } — векторный потенциал магнитного поля (в системе СИ измеряется в вольтах) и d l {displaystyle dmathbf {l} } — элемент траектории движения частицы.

Дифференциальное изменение фазы

На практике более интересен случай не интегрального изменения фазы, когда учитывается абсолютное значение векторного потенциала A {displaystyle A} (а значит, и магнитного поля B {displaystyle B} ), а дифференциального изменения фазы. Дело в том, что в первом случае при больших значениях амплитуды потенциала A {displaystyle A} мы будем иметь и большое значение изменения фазы, что не столь интересно как дифференциальный случай, когда фаза изменяется на величину, близкую к 2 π {displaystyle 2pi } . Например, в интерферометрии более важно не абсолютное значение параметра, а дифференциальное, что собственно и приводит к этому явлению. В квантовых антиточках Голдмана при измерении осцилляций проводимости также более существенно дифференциальное значение магнитного поля Δ B {displaystyle Delta B} . Поэтому возникает тривиальная задача нахождения дифференциального изменения фазы δ ( Δ φ H ) {displaystyle delta (Delta varphi _{H})} при наличии периодичности магнитного поля с периодом Δ B {displaystyle Delta B} (а значит и Δ A {displaystyle Delta A} ). В этом случае общий фазовый интеграл Фейнмана можно переписать в форме:

δ ( Δ φ H ) = e ℏ c δ ∫ S ( A , d l ) = e ℏ c Δ A ⋅ Δ S , {displaystyle delta (Delta varphi _{H})={frac {e}{hbar c}}delta int _{S}(mathbf {A} ,;dmathbf {l} )={frac {e}{hbar c}}Delta Acdot Delta S,}

где Δ S = 2 π Δ l B {displaystyle Delta S=2pi Delta l_{B}} — длина контура обхода, обусловленного периодичностью Δ B {displaystyle Delta B} , а Δ l B = ℏ e Δ B {displaystyle Delta l_{B}={sqrt {frac {hbar }{eDelta B}}}} — магнитная длина, обусловленная периодичностью Δ B {displaystyle Delta B} . Таким образом, находим дифференциальное изменение фазы в форме:

δ ( Δ φ H ) = 2 π c e ℏ Δ A Δ B = 2 π f p h . {displaystyle delta (Delta varphi _{H})={frac {2pi }{c}}{frac {e}{hbar }}{frac {Delta A}{sqrt {Delta B}}}=2pi f_{mathrm {ph} }.}

Конечно, нас более интересует безразмерное число, или так называемый фазовый фактор обхода контура, созданного периодичностью магнитного поля Δ B {displaystyle Delta B} :

f p h = 1 2 π δ ( Δ φ H ) = k p h Δ A Δ B , {displaystyle f_{mathrm {ph} }={frac {1}{2pi }}delta (Delta varphi _{H})=k_{mathrm {ph} }{frac {Delta A}{sqrt {Delta B}}},}

где k p h = 1 c e ℏ = 0,130 015 34 {displaystyle k_{mathrm {ph} }={frac {1}{c}}{sqrt {frac {e}{hbar }}}=0{,}130;015;34} Тл1/2В−1 — фазовая константа, которая зависит только от фундаментальных констант. Основная проблема, что осталась, состоит в том, что на практике достаточно легко измерять только магнитное поле Δ B {displaystyle Delta B} , а потенциал Δ A {displaystyle Delta A} находится только путём расчётов при определённых допущениях.

Изменение фазы в «квантовой антиточке»

Ситуация кардинально изменилась с экспериментальной разработкой «квантовых антиточек» Голдманом и построением на их основе «квантовых интерферометров». Дело в том, что во всех экспериментах по исследованию квантового эффекта Холла всегда присутствует не только магнитное поле B {displaystyle B} , но и электрическое поле E {displaystyle E} , но оно практически не учитывалось. И только в экспериментах Годмана впервые начался учёт электрического поля и контролировалась его квантизация. Конечно, само электрическое поле, направленное вдоль магнитного поля, непосредственно не измеряется. Обычно измеряется напряжение управления на гетеропереходе V b g {displaystyle V_{mathrm {bg} }} , а зная толщину гетероперехода, можно вычислить электрическое поле и электрическую индукцию (учитывая диэлектрическую проницаемость полупроводника). Основным результатом экспериментов Голдмана является то, что и магнитное поле Δ B {displaystyle Delta B} , и электрическое поле Δ V b g {displaystyle Delta V_{mathrm {bg} }} квантуются коррелированно одно с другим (см. рисунки в публикациях Голдмана).

Не менее очевидно, что и магнитный потенциал Δ A {displaystyle Delta A} должен коррелировать определённым образом с изменением электрического поля Δ V b g {displaystyle Delta V_{mathrm {bg} }} . Размерности магнитного потенциала совпадают с размерностью напряжения на затворе (вольты!), поэтому вполне справедливо допустить, что они равны по величине:

Δ A = Δ V b g . {displaystyle Delta A=Delta V_{mathrm {bg} }.}

Результаты обработки нескольких статей Голдмана, посвященных квантовым интерферометрам, представлены в следующей таблице:

Безусловно, полученный результат впечатляет, поскольку получены те же дробные значения фазы, что и так называемые дробные значения зарядов Голдмана. Следует отметить, что при вычислении зарядов ошибка увеличивается за счет учёта толщины гетероперехода и его диэлектрической проницаемости.


Имя:*
E-Mail:
Комментарий: