Распределение Пирсона

Распределение Пирсона — непрерывное распределение вероятностей, плотность вероятности которого является решением дифференциального уравнения d f ( x ) d x = a 1 x + a 0 b 0 + 2 b 1 x + b 2 x 2 f ( x ) {displaystyle {frac {df(x)}{dx}}={frac {a_{1}x+a_{0}}{b_{0}+2b_{1}x+b_{2}x^{2}}}f(x)} , где числа a 0 , a 1 , b 0 , b 1 , b 2 {displaystyle a_{0},a_{1},b_{0},b_{1},b_{2}} являются параметрами распределения. Частными случаями распределения Пирсона являются бета-распределение (распределение Пирсона I типа), гамма-распределение (распределение Пирсона III типа), распределение Стьюдента (распределение Пирсона VII типа), показательное распределение (распределение Пирсона X типа), нормальное распределение (распределение Пирсона XI типа). Распределения Пирсона широко используются в математической статистике при сглаживании распределений эмпирических данных. Для аппроксимации распределения вероятностей опытных данных численными методами вычисляют их первые четыре момента, а затем на их основе вычисляют параметры распределения Пирсона.

Свойства

Распределения Пирсона полностью определяются первыми четырьмя моментами случайной величины. Пусть μ k {displaystyle mu _{k}} является k {displaystyle k} центральным моментом случайной величины, имеющей распределение Пирсона. Тогда, если a 1 = 1 {displaystyle a_{1}=1} , то

a 0 = μ 3 ( μ 4 + 3 μ 2 2 ) A {displaystyle a_{0}={frac {mu _{3}(mu _{4}+3mu _{2}^{2})}{A}}} , b 0 = − μ 2 ( 4 μ 2 μ 4 − 3 μ 3 2 ) A {displaystyle b_{0}=-{frac {mu _{2}(4mu _{2}mu _{4}-3mu _{3}^{2})}{A}}} , b 1 = − μ 3 ( 4 μ 2 μ 4 + 3 μ 2 2 ) A {displaystyle b_{1}=-{frac {mu _{3}(4mu _{2}mu _{4}+3mu _{2}^{2})}{A}}} , b 2 = − 2 μ 2 μ 4 − 3 μ 3 2 − 6 μ 2 3 A {displaystyle b_{2}=-{frac {2mu _{2}mu _{4}-3mu _{3}^{2}-6mu _{2}^{3}}{A}}} ,

где A = 10 μ 4 μ 2 − 18 μ 2 3 − 12 μ 3 2 {displaystyle A=10mu _{4}mu _{2}-18mu _{2}^{3}-12mu _{3}^{2}} .

Типы распределений Пирсона

В зависимости от распределения корней квадратного трёхчлена b 0 + 2 b 1 x + b 2 x 2 {displaystyle b_{0}+2b_{1}x+b_{2}x^{2}} различают 12 типов распределений Пирсона. Обозначим D = b 0 b 2 − b 1 2 {displaystyle D=b_{0}b_{2}-b_{1}^{2}} , λ = b 1 2 b 0 b 2 {displaystyle lambda ={frac {b_{1}^{2}}{b_{0}b_{2}}}} .

I тип

Распределениями Пирсона I типа являются бета - распределения. Условия: D < 0 {displaystyle D<0} , λ < 0 {displaystyle lambda <0} , b 0 + 2 b 1 x + b 2 x 2 = ( α + x ) ( − β + x ) b 2 {displaystyle b_{0}+2b_{1}x+b_{2}x^{2}=(alpha +x)(-eta +x)b_{2}} , α , β > 0 {displaystyle alpha ,eta >0} Плотность вероятности: f ( x ) = { α 2 m β 2 n ( α + β ) m + n + 1 B ( m + 1 , n + 1 ) ( α + x ) m ( β − x ) n , x ∈ [ − α , β ] 0 , x ∉ [ − α , β ] {displaystyle f(x)={egin{cases}{frac {alpha ^{2m}eta ^{2n}}{(alpha +eta )^{m+n+1}B(m+1,n+1)}}(alpha +x)^{m}(eta -x)^{n},&xin [-alpha ,eta ],&x otin [-alpha ,eta ]end{cases}}} , где B ( m + 1 , n + 1 ) = Γ ( m + 1 ) Γ ( n + 1 ) Γ ( m + n + 2 ) {displaystyle B(m+1,n+1)={frac {Gamma (m+1)Gamma (n+1)}{Gamma (m+n+2)}}} , m > − 1 , n > − 1 {displaystyle m>-1,n>-1} .

II тип

Условия как для I типа с дополнительными условиями α = β , m = n {displaystyle alpha =eta ,m=n} .

III тип

Распределениями Пирсона III типа являются гамма-распределения. Условия: D < 0 {displaystyle D<0} , λ = ∞ {displaystyle lambda =infty } , b 0 + 2 b 1 x + b 2 x 2 = 2 ( α + x ) b 1 {displaystyle b_{0}+2b_{1}x+b_{2}x^{2}=2(alpha +x)b_{1}} . Плотность вероятности: f ( x ) = { k m + 1 Γ ( m + 1 ) ( α + x ) m e − k ( α + x ) , x > − α , k > 0 0 , x ⩽ − α {displaystyle f(x)={egin{cases}{frac {k^{m+1}}{Gamma (m+1)}}(alpha +x)^{m}e^{-k(alpha +x)},&x>-alpha ,k>0,&xleqslant -alpha end{cases}}} .

IV тип

Условия: D > 0 {displaystyle D>0} , 0 < λ < 1 {displaystyle 0<lambda <1} , b 0 + 2 b 1 x + b 2 x 2 = ( α 2 + x 2 ) b 2 {displaystyle b_{0}+2b_{1}x+b_{2}x^{2}=(alpha ^{2}+x^{2})b_{2}} . Плотность вероятности: f ( x ) = c ( α 2 + x 2 ) − m exp ⁡ − ν arctan ⁡ x α {displaystyle f(x)=c(alpha ^{2}+x^{2})^{-m}exp {- u arctan {frac {x}{alpha }}}} , x ∈ ( − ∞ , ∞ ) {displaystyle xin (-infty ,infty )} , m ⩾ 1 2 {displaystyle mgeqslant {frac {1}{2}}} , где c − 1 = ∫ − ∞ ∞ ( α 2 + x 2 ) − m exp ⁡ − ν arctan ⁡ x α d x {displaystyle c^{-1}=int _{-infty }^{infty }(alpha ^{2}+x^{2})^{-m}exp {- u arctan {frac {x}{alpha }}}dx} .

V тип

Условия: D = 0 {displaystyle D=0} , λ = 1 {displaystyle lambda =1} , b 0 + 2 b 1 x + b 2 x 2 = ( α + x ) 2 b 2 {displaystyle b_{0}+2b_{1}x+b_{2}x^{2}=(alpha +x)^{2}b_{2}} . Плотность вероятности: f ( x ) = { γ m − 1 Γ m − 1 x − m e − γ x , γ > 0 , m > 1 , x > 0 0 , x ⩽ 0 {displaystyle f(x)={egin{cases}{frac {gamma ^{m-1}}{Gamma {m-1}}}x^{-m}e^{-{frac {gamma }{x}}},&gamma >0,m>1,x>0,&xleqslant 0end{cases}}} .

VI тип

Условия: D < 0 {displaystyle D<0} , λ > 1 {displaystyle lambda >1} , b 0 + 2 b 1 x + b 2 x 2 = ( α + x ) ( x − β ) b 2 {displaystyle b_{0}+2b_{1}x+b_{2}x^{2}=(alpha +x)(x-eta )b_{2}} . Плотность вероятности: f ( x ) = { ( α + β ) − ( m + n + 1 ) B ( − m − n − 1 , n + 1 ) ( x + α ) m ( x − β ) n , x > β , m − 1 > 0 , n > − 1 0 , x ⩽ β {displaystyle f(x)={egin{cases}{frac {(alpha +eta )^{-(m+n+1)}}{B(-m-n-1,n+1)}}(x+alpha )^{m}(x-eta )^{n},&x>eta ,m-1>0,n>-1,&xleqslant eta end{cases}}} .

VII тип

Распределением Пирсона VII типа является распределение Стьюдента. Условия: D > 0 {displaystyle D>0} , λ = 0 {displaystyle lambda =0} , b 0 + 2 b 1 x + b 2 x 2 = ( α 2 + x 2 ) b 2 {displaystyle b_{0}+2b_{1}x+b_{2}x^{2}=(alpha ^{2}+x^{2})b_{2}} . Плотность вероятности: f ( x ) = α 2 m − 1 B ( m − 1 2 , 1 2 ) ( α 2 + x 2 ) − m {displaystyle f(x)={frac {alpha ^{2m-1}}{B(m-{frac {1}{2}},{frac {1}{2}})}}(alpha ^{2}+x^{2})^{-m}} , x ∈ ( − ∞ , ∞ ) {displaystyle xin (-infty ,infty )} , m ⩾ 1 2 {displaystyle mgeqslant {frac {1}{2}}} .

VIII тип

Условия: D < 0 {displaystyle D<0} , λ < 0 {displaystyle lambda <0} , b 0 + 2 b 1 x + b 2 x 2 = x ( x + α ) b 2 {displaystyle b_{0}+2b_{1}x+b_{2}x^{2}=x(x+alpha )b_{2}} . Плотность вероятности: f ( x ) = { m + 1 α m + 1 ( x + α ) m , x ∈ [ − α , 0 ] , − 1 < m < 0 0 , x ∉ [ − α , 0 ] {displaystyle f(x)={egin{cases}{frac {m+1}{alpha ^{m+1}}}(x+alpha )^{m},&xin [-alpha ,0],-1<m<0,&x otin [-alpha ,0]end{cases}}} .

IX тип

Условия: D < 0 {displaystyle D<0} , λ < 0 {displaystyle lambda <0} , b 0 + 2 b 1 x + b 2 x 2 = x ( x + α ) b 2 {displaystyle b_{0}+2b_{1}x+b_{2}x^{2}=x(x+alpha )b_{2}} . Плотность вероятности: f ( x ) = { m + 1 α m + 1 ( x + α ) m , x ∈ [ − α , 0 ] , m < − 1 0 , x ∉ [ − α , 0 ] {displaystyle f(x)={egin{cases}{frac {m+1}{alpha ^{m+1}}}(x+alpha )^{m},&xin [-alpha ,0],m<-1,&x otin [-alpha ,0]end{cases}}} .

X тип

Распределением Пирсона X типа является показательное распределение. Условия: D = 0 {displaystyle D=0} , λ = 0 {displaystyle lambda =0} , b 0 + 2 b 1 x + b 2 x 2 = b 0 {displaystyle b_{0}+2b_{1}x+b_{2}x^{2}=b_{0}} , a 1 = 0 {displaystyle a_{1}=0} . Плотность вероятности: f ( x ) = { γ e − γ x , x > 0 , γ > 0 0 , x ⩽ 0 {displaystyle f(x)={egin{cases}gamma e^{-gamma x},&x>0,gamma >0,&xleqslant 0end{cases}}}

XI тип

Распределением Пирсона XI типа является нормальное распределение. Условия: D = 0 {displaystyle D=0} , λ {displaystyle lambda } неопределённо, b 0 + 2 b 1 x + b 2 x 2 = b 0 {displaystyle b_{0}+2b_{1}x+b_{2}x^{2}=b_{0}} . Плотность вероятности: f ( x ) = 1 2 π σ exp ⁡ − x 2 2 σ 2 , x ∈ ( − ∞ , ∞ ) {displaystyle f(x)={frac {1}{{sqrt {2pi }}sigma }}exp {-{frac {x^{2}}{2sigma ^{2}}}},xin (-infty ,infty )} .

XII тип

Условия как для I типа с дополнительными условиями α = β , m = − n {displaystyle alpha =eta ,m=-n} .