Альтернативность

Альтернативность (бинарная ассоциативность) — свойство бинарной операции ∘ {displaystyle circ } , являющееся ослабленным вариантом ассоциативности: для любых элементов x , y {displaystyle x,;y}

•   ( x ∘ y ) ∘ y = x ∘ ( y ∘ y ) {displaystyle (xcirc y)circ y=xcirc (ycirc y)} — правая альтернативность,
•   y ∘ ( y ∘ x ) = ( y ∘ y ) ∘ x {displaystyle ycirc (ycirc x)=(ycirc y)circ x} — левая альтернативность.

Всякая ассоциативная операция является альтернативной; обратное в общем случае неверно: например, умножение октонионов альтернативно, но не ассоциативно.

Во всякой магме, пара элементов которой порождает ассоциативную подмагму, бинарная операция альтернативна. Обратное в общем случае неверно, но в случае неассоциативных колец из альтернативности кольца следует ассоциативность порождённых каждой парой элементов подколец (теорема Артина).

Исторически первый пример альтернативной структуры — числа Кэли, образующие альтернативное тело; важные приложения в физике имеются у альтернативных алгебр.

Другой вариант ослабления ассоциативности — степенная ассоциативность. Иногда это свойство считается более слабым, чем альтернативность, поскольку при некоторых дополнительных условиях из альтернативности следует степенная ассоциативность, но в общем случае это не так: например, для магмы из элементов e ⋆ , e 1 , e 2 … {displaystyle e_{star },e_{1},e_{2}dots } с альтернативным умножением, введённым следующим образом:

• e i ∘ e j = e i + j {displaystyle e_{i}circ e_{j}=e_{i+j}} кроме e 3 ∘ e 3 = e ⋆ {displaystyle e_{3}circ e_{3}=e_{star }} ,
• e ⋆ ∘ e i = e i ∘ e ⋆ = e i + 6 {displaystyle e_{star }circ e_{i}=e_{i}circ e_{star }=e_{i+6}} ,
• e ⋆ ∘ e ⋆ = e 12 {displaystyle e_{star }circ e_{star }=e_{12}}

степенная ассоциативность не выполняется:

( ( e 1 ∘ e 1 ) ∘ e 1 ) ∘ ( ( e 1 ∘ e 1 ) ∘ e 1 ) = e 3 ∘ e 3 = e ⋆ ≠ e 6 = e 1 6 {displaystyle ((e_{1}circ e_{1})circ e_{1})circ ((e_{1}circ e_{1})circ e_{1})=e_{3}circ e_{3}=e_{star } eq e_{6}=e_{1}^{6}} .