Главная
Новости
Строительство
Ремонт
Дизайн и интерьер
Полезные советы




19.02.2022


19.02.2022


18.02.2022


16.02.2022


14.02.2022


12.02.2022





Яндекс.Метрика





Третья краевая задача

29.03.2022

Задача Робена, задача Ньютона, третья краевая задача, задача импедансного типа — разновидность краевой задачи для дифференциальных уравнений. Названа в честь французского математика Виктора Робена и британского физика Исаака Ньютона.

Постановка задачи

В самом общем виде задача ставится следующим образом: решить дифференциальное уравнение в частных производных, вида

L u = f ( x ) {displaystyle Lu=f(mathbf {x} )} в области Ω {displaystyle Omega }

При граничных условиях следующего вида:

( a u + b ∂ u ∂ n ) | ∂ Ω = g ( x ) {displaystyle left.left(au+b{frac {partial u}{partial mathbf {n} }} ight) ight|_{partial Omega }=g(mathbf {x} )}

Такая задача называется третьей краевой задачей.

Физическая интерпретация

Поскольку третьи краевые задают связь между искомой функцией и её нормальной производной на границе области, то в зависимости от решаемой задачи используются разные способы задания и интерпретации третьих краевых:

  • Для уравнения теплопроводности задаются в виде − λ ∂ u ∂ n = β ( u − u β ( x ) ) {displaystyle -lambda {frac {partial u}{partial mathbf {n} }}=eta (u-u_{eta }(mathbf {x} ))} — теплообмен по закону Ньютона-Рихмана.
  • Для скалярных уравнений, получаемых из уравнений Максвелла, задаётся в похожем виде − μ − 1 ∂ E ∂ n = β ( E − u β ( x ) ) {displaystyle -mu ^{-1}{frac {partial E}{partial mathbf {n} }}=eta (E-u_{eta }(mathbf {x} ))} (если уравнение относительно напряжённости электрического поля) и означает связь между электрическим и магнитным полем на границе области.
  • Для векторных уравнений, получаемых из уравнений Максвелла записать третьи краевые, с учётом связи H = μ − 1 ∇ × E {displaystyle mathbf {H} =mu ^{-1} abla imes mathbf {E} } , можно следующим образом:
− E × n + σ ( H × n ) × n = Q ( E × n + σ ( H × n ) × n ) + g = 0 {displaystyle -mathbf {E} imes mathbf {n} +sigma (mathbf {H} imes mathbf {n} ) imes mathbf {n} =Q(mathbf {E} imes mathbf {n} +sigma (mathbf {H} imes mathbf {n} ) imes mathbf {n} )+mathbf {g} =0}

Аналитическое решение

Аналитическое решение третьей краевой задачи можно найти с помощью теории потенциала.

Численное решение

В каждом численном методе решения дифференциальных уравнений свои особенности учёта третьих краевых, например:

  • В методе конечных разностей строится разностная схема вида a u i + R u i = g ( x i ) {displaystyle au_{i}+Ru_{i}=g(mathbf {x} _{i})} , где R {displaystyle R} — разностный оператор и полученное уравнение добавляется в систему.
  • В методе конечных элементов третьи краевые являются естественными и учитываются на уровне вариационной постановки, получаются добавки в матрицу и в правую части:
∫ ∂ Ω β φ i ( x ) φ j ( x ) d x {displaystyle int _{partial Omega }{eta varphi _{i}(mathbf {x} )varphi _{j}(mathbf {x} )dx}} — добавка в i {displaystyle i} -й, j {displaystyle j} -й элемент матрицы; ∫ ∂ Ω β u β ( x ) φ i ( x ) d x {displaystyle int _{partial Omega }{eta u_{eta }(mathbf {x} )varphi _{i}(mathbf {x} )dx}} — добавка в i {displaystyle i} -й элемент правой части.

Имя:*
E-Mail:
Комментарий: