Задача Робена, задача Ньютона, третья краевая задача, задача импедансного типа — разновидность краевой задачи для дифференциальных уравнений. Названа в честь французского математика Виктора Робена и британского физика Исаака Ньютона.
Постановка задачи
В самом общем виде задача ставится следующим образом: решить дифференциальное уравнение в частных производных, вида
L u = f ( x ) {displaystyle Lu=f(mathbf {x} )} в области Ω {displaystyle Omega }При граничных условиях следующего вида:
( a u + b ∂ u ∂ n ) | ∂ Ω = g ( x ) {displaystyle left.left(au+b{frac {partial u}{partial mathbf {n} }} ight) ight|_{partial Omega }=g(mathbf {x} )}Такая задача называется третьей краевой задачей.
Физическая интерпретация
Поскольку третьи краевые задают связь между искомой функцией и её нормальной производной на границе области, то в зависимости от решаемой задачи используются разные способы задания и интерпретации третьих краевых:
- Для уравнения теплопроводности задаются в виде − λ ∂ u ∂ n = β ( u − u β ( x ) ) {displaystyle -lambda {frac {partial u}{partial mathbf {n} }}=eta (u-u_{eta }(mathbf {x} ))} — теплообмен по закону Ньютона-Рихмана.
- Для скалярных уравнений, получаемых из уравнений Максвелла, задаётся в похожем виде − μ − 1 ∂ E ∂ n = β ( E − u β ( x ) ) {displaystyle -mu ^{-1}{frac {partial E}{partial mathbf {n} }}=eta (E-u_{eta }(mathbf {x} ))} (если уравнение относительно напряжённости электрического поля) и означает связь между электрическим и магнитным полем на границе области.
- Для векторных уравнений, получаемых из уравнений Максвелла записать третьи краевые, с учётом связи H = μ − 1 ∇ × E {displaystyle mathbf {H} =mu ^{-1} abla imes mathbf {E} } , можно следующим образом:
Аналитическое решение
Аналитическое решение третьей краевой задачи можно найти с помощью теории потенциала.
Численное решение
В каждом численном методе решения дифференциальных уравнений свои особенности учёта третьих краевых, например:
- В методе конечных разностей строится разностная схема вида a u i + R u i = g ( x i ) {displaystyle au_{i}+Ru_{i}=g(mathbf {x} _{i})} , где R {displaystyle R} — разностный оператор и полученное уравнение добавляется в систему.
- В методе конечных элементов третьи краевые являются естественными и учитываются на уровне вариационной постановки, получаются добавки в матрицу и в правую части: