Обратный маятник

Перевёрнутый маятник — устройство, представляющее собой маятник, который имеет центр масс выше своей точки опоры, закреплённый на конце жёсткого стержня. Часто точка опоры закрепляется на тележке, которая может перемещаться по горизонтали. В то время как нормальный маятник устойчиво висит вниз, обратный маятник по своей природе неустойчивый и должен постоянно балансироваться чтобы оставаться в вертикальном положении, с помощью применения крутящего момента к опорной точке или при перемещении точки опоры по горизонтали, как части обратной связи системы. Простейшим демонстрационным примером может являться балансировка карандаша на конце пальца.

Обзор

Перевёрнутый маятник является классической проблемой динамики и теории управления и широко используется в качестве эталона для тестирования алгоритмов управления (ПИД-регуляторов, нейронных сетей, нечёткого управления и т. д.).

Проблема обратного маятника связана с наведением ракет, так как двигатель ракеты расположен ниже центра тяжести, вызывая нестабильность. Эта же проблема решена, например, в сегвее, самобалансирующемся транспортном устройстве.

Другим способом стабилизации обратного маятника является быстрое колебание основания в вертикальной плоскости. В этом случае можно обойтись без обратной связи. Если колебания достаточно сильные (в смысле величины ускорения и амплитуды), то обратный маятник может стабилизироваться. Если движущаяся точка колеблется в соответствии с простыми гармоническими колебаниями, то движение маятника описывается функцией Матьё.

Уравнения движения

С неподвижной точкой опоры

Уравнение движения аналогично прямому маятнику за исключением того, что знак углового положения измеряется от вертикальной позиции неустойчивого равновесия:

θ ¨ − g ℓ sin ⁡ θ = 0 {displaystyle {ddot { heta }}-{g over ell }sin heta =0}

При переносе он будет иметь тот же знак углового ускорения:

θ ¨ = g ℓ sin ⁡ θ {displaystyle {ddot { heta }}={g over ell }sin heta }

Таким образом, обратный маятник будет ускоряться от вертикального неустойчивого равновесия в противоположную сторону, а ускорение будет обратно пропорционально длине. Высокий маятник падает медленнее, чем короткий.

Маятник на тележке

Уравнения движения могут быть получены с использованием уравнений Лагранжа. Речь идёт об приведённом выше рисунке, где θ ( t ) {displaystyle heta (t)} угол маятника длиной l {displaystyle l} по отношению к вертикали и действующей силе гравитации и внешних сил F {displaystyle F} в направлении x {displaystyle x} . Определим x ( t ) {displaystyle x(t)} положение тележки. Лагранжиан L = T − V {displaystyle L=T-V} системы:

L = 1 2 M v 1 2 + 1 2 m v 2 2 − m g ℓ cos ⁡ θ {displaystyle L={frac {1}{2}}Mv_{1}^{2}+{frac {1}{2}}mv_{2}^{2}-mgell cos heta }

где v 1 {displaystyle v_{1}} является скоростью тележки, а v 2 {displaystyle v_{2}} - скорость материальной точки m {displaystyle m} . v 1 {displaystyle v_{1}} и v 2 {displaystyle v_{2}} может быть выражена через x {displaystyle x} и θ {displaystyle heta } путём записи скорости как первой производной положения.

v 1 2 = x ˙ 2 {displaystyle v_{1}^{2}={dot {x}}^{2}} v 2 2 = ( d d t ( x − ℓ sin ⁡ θ ) ) 2 + ( d d t ( ℓ cos ⁡ θ ) ) 2 {displaystyle v_{2}^{2}=left({frac {d}{dt}}{left(x-ell sin heta ight)} ight)^{2}+left({frac {d}{dt}}{left(ell cos heta ight)} ight)^{2}}

Упрощение выражения v 2 {displaystyle v_{2}} приводит к:

v 2 2 = x ˙ 2 − 2 ℓ x ˙ θ ˙ cos ⁡ θ + ℓ 2 θ ˙ 2 {displaystyle v_{2}^{2}={dot {x}}^{2}-2ell {dot {x}}{dot { heta }}cos heta +ell ^{2}{dot { heta }}^{2}}

Лагранжиан теперь определяется по формуле:

L = 1 2 ( M + m ) x ˙ 2 − m ℓ x ˙ θ ˙ cos ⁡ θ + 1 2 m ℓ 2 θ ˙ 2 − m g ℓ cos ⁡ θ {displaystyle L={frac {1}{2}}left(M+m ight){dot {x}}^{2}-mell {dot {x}}{dot { heta }}cos heta +{frac {1}{2}}mell ^{2}{dot { heta }}^{2}-mgell cos heta }

и уравнения движения:

d d t ∂ L ∂ x ˙ − ∂ L ∂ x = F {displaystyle {frac {mathrm {d} }{mathrm {d} t}}{partial {L} over partial {dot {x}}}-{partial {L} over partial x}=F} d d t ∂ L ∂ θ ˙ − ∂ L ∂ θ = 0 {displaystyle {frac {mathrm {d} }{mathrm {d} t}}{partial {L} over partial {dot { heta }}}-{partial {L} over partial heta }=0}

Подстановка L {displaystyle L} в эти выражения с последующим упрощением приводит к уравнениям, описывающим движение обратного маятника:

( M + m ) x ¨ − m ℓ θ ¨ cos ⁡ θ + m ℓ θ ˙ 2 sin ⁡ θ = F {displaystyle left(M+m ight){ddot {x}}-mell {ddot { heta }}cos heta +mell {dot { heta }}^{2}sin heta =F} ℓ θ ¨ − g sin ⁡ θ = x ¨ cos ⁡ θ {displaystyle ell {ddot { heta }}-gsin heta ={ddot {x}}cos heta }

Эти уравнения являются нелинейными, но, поскольку цель системы управления - удерживать маятник вертикально, то уравнения можно линеаризовать, приняв θ ≈ 0 {displaystyle heta approx 0} .

Маятник с колеблющимся основанием

Уравнение движения для такого маятника связано с безмассовой осциллирующей базой и получено так же, как для маятника на тележке. Положение материальной точки определяется по формуле:

( − ℓ sin ⁡ θ , y + ℓ cos ⁡ θ ) {displaystyle left(-ell sin heta ,y+ell cos heta ight)}

и скорость найдена через первую производную позиции:

v 2 = y ˙ 2 − 2 ℓ y ˙ θ ˙ sin ⁡ θ + ℓ 2 θ ˙ 2 . {displaystyle v^{2}={dot {y}}^{2}-2ell {dot {y}}{dot { heta }}sin heta +ell ^{2}{dot { heta }}^{2}.}

Лагранжиан для этой системы можно записать в виде:

L = 1 2 m ( y ˙ 2 − 2 ℓ y ˙ θ ˙ sin ⁡ θ + ℓ 2 θ ˙ 2 ) − m g ( y + ℓ cos ⁡ θ ) {displaystyle L={frac {1}{2}}mleft({dot {y}}^{2}-2ell {dot {y}}{dot { heta }}sin heta +ell ^{2}{dot { heta }}^{2} ight)-mgleft(y+ell cos heta ight)}

уравнения движения следуют из:

d d t ∂ L ∂ θ ˙ − ∂ L ∂ θ = 0 {displaystyle {mathrm {d} over mathrm {d} t}{partial {L} over partial {dot { heta }}}-{partial {L} over partial heta }=0}

в результате:

ℓ θ ¨ − y ¨ sin ⁡ θ = g sin ⁡ θ . {displaystyle ell {ddot { heta }}-{ddot {y}}sin heta =gsin heta .}

Если y колеблется в соответствии с простыми гармоническими колебаниями, y = A sin ⁡ ω t {displaystyle y=Asin omega t} , то получаем дифференциальное уравнение:

θ ¨ − g ℓ sin ⁡ θ = − A ℓ ω 2 sin ⁡ ω t sin ⁡ θ . {displaystyle {ddot { heta }}-{g over ell }sin heta =-{A over ell }omega ^{2}sin omega tsin heta .}

Это уравнение не имеет элементарного решения в замкнутом виде, но может быть изучено во множестве направлений. Оно близкого к уравнению Матье, например, когда амплитуда колебаний мала. Анализ показывает, что маятник остается в вертикальном положении при быстрых колебаниях. Первый график показывает, что при медленно колеблющимся y {displaystyle y} , маятник быстро падает, после выхода из устойчивого вертикального положения.
Если y {displaystyle y} быстро колеблется, то маятник может быть стабилен около вертикальной позиции. Второй график показывает, что, после выхода из устойчивого вертикального положения, маятник теперь начинается колебаться вокруг вертикальной позиции ( θ = 0 {displaystyle heta =0} ).Отклонение от вертикального положения остается мало, и маятник не падает.

Применение

Примером является балансировка людей и предметов, например в акробатике или катание на одноколесном велосипеде. А также сегвей — электрический самобалансирующийся самокат с двумя колёсами.

Перевернутый маятник был центральным компонентом в разработке нескольких ранних сейсмографов.