Теорема тангенсов — теорема, связывающая между собой тангенсы двух углов треугольника и длины сторон, противоположные этим углам.
Теорема тангенсов, хотя не настолько широко известна как теорема синусов или теорема косинусов, достаточна полезна, и может быть использована в тех случаях, когда известны две стороны и один угол, или, наоборот, два угла и одна сторона.
История
Теорема тангенсов для сферических углов была описана в XIII веке персидским математиком Насиром ад-Дином Ат-Туси (1201—1274), который также привёл теорему синусов для плоских треугольников в своей пятитомной работе Трактат о полном четырёхугольнике.
Теорему также называют формулой Региомонтана по имени немецкого астронома и математика Иоганна (или Йоганна) Мюллера (лат. Regiomontanus), установившего эту формулу. И. Мюллера называли «Кёнигсбержец»: по-немецки König — король, Berg — гора, а по-латински «король» и «гора» в родительном падеже — regis и montis. Отсюда «Региомонтан» — латинизированная фамилия И. Мюллера.
Формулировка
На рис. 1, a, b, и c — это длины трёх сторон треугольника, и α, β, и γ — это углы, лежащие соответственно напротив этих трёх сторон (противолежащие углы). Теорема тангенсов утверждает, что
a − b a + b = t g α − β 2 t g α + β 2 . {displaystyle {frac {a-b}{a+b}}={frac {mathrm {tg} {frac {alpha -eta }{2}}}{mathrm {tg} {frac {alpha +eta }{2}}}}.}Доказательство
Доказать теорему тангенсов можно с помощью теоремы синусов:
a sin α = b sin β . {displaystyle {frac {a}{sin alpha }}={frac {b}{sin eta }}.}Пусть
d = a sin α = b sin β , {displaystyle d={frac {a}{sin alpha }}={frac {b}{sin eta }},}откуда
a = d sin α {displaystyle a=dsin alpha } b = d sin β . {displaystyle b=dsin eta .}Отсюда следует, что
a − b a + b = d sin α − d sin β d sin α + d sin β = sin α − sin β sin α + sin β . {displaystyle {frac {a-b}{a+b}}={frac {dsin alpha -dsin eta }{dsin alpha +dsin eta }}={frac {sin alpha -sin eta }{sin alpha +sin eta }}.}Используя известное тригонометрическое тождество
sin α ± sin β = 2 sin α ± β 2 cos α ∓ β 2 , {displaystyle sin alpha pm sin eta =2sin {frac {alpha pm eta }{2}}cos {frac {alpha mp eta }{2}},;}получаем:
a − b a + b = sin α − sin β sin α + sin β = 2 sin α − β 2 cos α + β 2 2 sin α + β 2 cos α − β 2 = t g α − β 2 t g α + β 2 . ◼ {displaystyle {frac {a-b}{a+b}}={frac {sin alpha -sin eta }{sin alpha +sin eta }}={frac {2sin {frac {alpha -eta }{2}}cos {frac {alpha +eta }{2}}}{2sin {frac {alpha +eta }{2}}cos {frac {alpha -eta }{2}}}}={frac {mathrm {tg} {frac {alpha -eta }{2}}}{mathrm {tg} {frac {alpha +eta }{2}}}}.qquad lacksquare }Вместо формулы для суммы и разности синусов двух углов, в доказательстве можно использовать следующее известное тождество
t g α ± β 2 = sin α ± sin β cos α + cos β {displaystyle mathrm {tg} {frac {alpha pm eta }{2}}={frac {sin alpha pm sin eta }{cos alpha +cos eta }}} .Другое доказательство с использованием формул Мольвейде
- Формулы Мольвейде имеют следующий вид:
где A , B , C {displaystyle A,;B,;C} — значения углов при соответствующих вершинах треугольника и a , b , c {displaystyle a,;b,;c} — длины сторон соответственно между вершинами B {displaystyle B} и C {displaystyle C} , C {displaystyle C} и A {displaystyle A} , A {displaystyle A} и B {displaystyle B} .
- Деля порознь правые и левые части двух последних равенств и приравнивая два полученных результата друг другу, имеем
- С учетом того, что c t g C 2 = c t g π − A − B 2 = t g A + B 2 {displaystyle mathrm {ctg} {frac {C}{2}}=mathrm {ctg} {frac {pi -A-B}{2}}=mathrm {tg} {frac {A+B}{2}}} , окончательно имеем:
что и требовалось доказать.