Главная
Новости
Строительство
Ремонт
Дизайн и интерьер
Полезные советы




29.09.2022


19.09.2022


11.09.2022


26.08.2022


15.07.2022


19.02.2022





Яндекс.Метрика





Теорема тангенсов

08.07.2022

Теорема тангенсов — теорема, связывающая между собой тангенсы двух углов треугольника и длины сторон, противоположные этим углам.

Теорема тангенсов, хотя не настолько широко известна как теорема синусов или теорема косинусов, достаточна полезна, и может быть использована в тех случаях, когда известны две стороны и один угол, или, наоборот, два угла и одна сторона.

История

Теорема тангенсов для сферических углов была описана в XIII веке персидским математиком Насиром ад-Дином Ат-Туси (1201—1274), который также привёл теорему синусов для плоских треугольников в своей пятитомной работе Трактат о полном четырёхугольнике.

Теорему также называют формулой Региомонтана по имени немецкого астронома и математика Иоганна (или Йоганна) Мюллера (лат. Regiomontanus), установившего эту формулу. И. Мюллера называли «Кёнигсбержец»: по-немецки König — король, Berg — гора, а по-латински «король» и «гора» в родительном падеже — regis и montis. Отсюда «Региомонтан» — латинизированная фамилия И. Мюллера.

Формулировка

На рис. 1, a, b, и c — это длины трёх сторон треугольника, и α, β, и γ — это углы, лежащие соответственно напротив этих трёх сторон (противолежащие углы). Теорема тангенсов утверждает, что

a − b a + b = t g α − β 2 t g α + β 2 . {displaystyle {frac {a-b}{a+b}}={frac {mathrm {tg} {frac {alpha -eta }{2}}}{mathrm {tg} {frac {alpha +eta }{2}}}}.}

Доказательство

Доказать теорему тангенсов можно с помощью теоремы синусов:

a sin ⁡ α = b sin ⁡ β . {displaystyle {frac {a}{sin alpha }}={frac {b}{sin eta }}.}

Пусть

d = a sin ⁡ α = b sin ⁡ β , {displaystyle d={frac {a}{sin alpha }}={frac {b}{sin eta }},}

откуда

a = d sin ⁡ α {displaystyle a=dsin alpha } b = d sin ⁡ β . {displaystyle b=dsin eta .}

Отсюда следует, что

a − b a + b = d sin ⁡ α − d sin ⁡ β d sin ⁡ α + d sin ⁡ β = sin ⁡ α − sin ⁡ β sin ⁡ α + sin ⁡ β . {displaystyle {frac {a-b}{a+b}}={frac {dsin alpha -dsin eta }{dsin alpha +dsin eta }}={frac {sin alpha -sin eta }{sin alpha +sin eta }}.}

Используя известное тригонометрическое тождество

sin ⁡ α ± sin ⁡ β = 2 sin ⁡ α ± β 2 cos ⁡ α ∓ β 2 , {displaystyle sin alpha pm sin eta =2sin {frac {alpha pm eta }{2}}cos {frac {alpha mp eta }{2}},;}

получаем:

a − b a + b = sin ⁡ α − sin ⁡ β sin ⁡ α + sin ⁡ β = 2 sin ⁡ α − β 2 cos ⁡ α + β 2 2 sin ⁡ α + β 2 cos ⁡ α − β 2 = t g α − β 2 t g α + β 2 . ◼ {displaystyle {frac {a-b}{a+b}}={frac {sin alpha -sin eta }{sin alpha +sin eta }}={frac {2sin {frac {alpha -eta }{2}}cos {frac {alpha +eta }{2}}}{2sin {frac {alpha +eta }{2}}cos {frac {alpha -eta }{2}}}}={frac {mathrm {tg} {frac {alpha -eta }{2}}}{mathrm {tg} {frac {alpha +eta }{2}}}}.qquad lacksquare }

Вместо формулы для суммы и разности синусов двух углов, в доказательстве можно использовать следующее известное тождество

t g α ± β 2 = sin ⁡ α ± sin ⁡ β cos ⁡ α + cos ⁡ β {displaystyle mathrm {tg} {frac {alpha pm eta }{2}}={frac {sin alpha pm sin eta }{cos alpha +cos eta }}} .

Другое доказательство с использованием формул Мольвейде

  • Формулы Мольвейде имеют следующий вид:
a + b c = cos ⁡ A − B 2 sin ⁡ C 2 ; {displaystyle {frac {a+b}{c}}={frac {operatorname {cos} {frac {A-B}{2}}}{operatorname {sin} {frac {C}{2}}}};} a − b c = sin ⁡ A − B 2 cos ⁡ C 2 . {displaystyle {frac {a-b}{c}}={frac {operatorname {sin} {frac {A-B}{2}}}{operatorname {cos} {frac {C}{2}}}}.}

где A , B , C {displaystyle A,;B,;C} — значения углов при соответствующих вершинах треугольника и a , b , c {displaystyle a,;b,;c} — длины сторон соответственно между вершинами B {displaystyle B} и C {displaystyle C} , C {displaystyle C} и A {displaystyle A} , A {displaystyle A} и B {displaystyle B} .

  • Деля порознь правые и левые части двух последних равенств и приравнивая два полученных результата друг другу, имеем
a + b a − b = c t g C 2 t g A − B 2 . {displaystyle {frac {a+b}{a-b}}={frac {mathrm {ctg} {frac {C}{2}}}{mathrm {tg} {frac {A-B}{2}}}}.}
  • С учетом того, что c t g C 2 = c t g π − A − B 2 = t g A + B 2 {displaystyle mathrm {ctg} {frac {C}{2}}=mathrm {ctg} {frac {pi -A-B}{2}}=mathrm {tg} {frac {A+B}{2}}} , окончательно имеем:
a + b a − b = t g A + B 2 t g A − B 2 , {displaystyle {frac {a+b}{a-b}}={frac {mathrm {tg} {frac {A+B}{2}}}{mathrm {tg} {frac {A-B}{2}}}},}

что и требовалось доказать.


Имя:*
E-Mail:
Комментарий: