Матричный элемент

Матричным элементом квантово-механического оператора A ^ {displaystyle {hat {A}}} называется выражение

⟨ i | A ^ | j ⟩ = ∫ ψ i ∗ A ^ ψ j d τ {displaystyle langle i|{hat {A}}|j angle =int psi _{i}^{*}{hat {A}}psi _{j}d au } ,

где ψ i ( j ) {displaystyle psi _{i(j)}} - две различные волновые функции, которые обычно выбираются из определенного ортонормированного базиса, а интегрирование проводится по пространству, определенном всеми переменными системы.

Матричный элемент произведения двух операторов

Если | I ⟩ {displaystyle |I angle } составляют ортонормированный базис, то, воспользовавшись условием полноты базиса, можно записать

⟨ i | A ^ B ^ | j ⟩ = ∑ k ⟨ i | A ^ | k ⟩ ⟨ k | B ^ | j ⟩ {displaystyle langle i|{hat {A}}{hat {B}}|j angle =sum _{k}langle i|{hat {A}}|k angle langle k|{hat {B}}|j angle } ,

что соответствует правилу умножения матриц.

Значение в квантовой механике

Исторически понятие матричного элемента сложилось в период развития матричной механики Гейзенберга, в рамках которой квантово-механическая система описывалась целиком бесконечным набором возможных состояний, взаимодействие между которыми задавалась посредством определенной матрицы, тоже в общем бесконечного ранга. После открытия уравнения Шредингера, были выведены приведенные выше общие правила для получения матричных элементов.

Матричными элементами в основном описываются амплитуды вероятности перехода квантово-механической системы из одного состояния в другое.