Главная
Новости
Строительство
Ремонт
Дизайн и интерьер
Полезные советы




29.09.2022


19.09.2022


11.09.2022


26.08.2022


15.07.2022


19.02.2022





Яндекс.Метрика





Уравнения Петерсона ― Кодацци

17.09.2022

Уравнения Петерсона ― Майнарди ― Кодацци ― уравнения, составляющие вместе с уравнением Гаусса необходимые и достаточные условия интегрируемости системы, к которой сводится задача восстановления поверхности по её первой и второй квадратичным формам.

Уравнения

Уравнения Петерсона ― Майнарди ― Кодацци имеют вид

∂ b i 1 ∂ u 2 + Γ i 1 1 b 12 + Γ i 1 2 b 22 = ∂ b i 2 ∂ u 1 + Γ i 2 1 b 11 + Γ i 2 2 b 21 {displaystyle {frac {partial b_{i1}}{partial u^{2}}}+Gamma _{i1}^{1}b_{12}+Gamma _{i1}^{2}b_{22}={frac {partial b_{i2}}{partial u^{1}}}+Gamma _{i2}^{1}b_{11}+Gamma _{i2}^{2}b_{21}}

где b i j {displaystyle b_{ij}} ― коэффициенты второй квадратичной формы, Γ j k i {displaystyle Gamma _{jk}^{i}} ― символы Кристоффеля.

Свойства

  • Теорема Бонне. Если g = g i j {displaystyle g=g_{ij}} и b = b i j {displaystyle b=b_{ij}} , i , j ∈ { 1 , 2 } {displaystyle i,jin {1,2}} две гладкие квадратичные формы в области U {displaystyle U} удовлетворяющие уравнениям Петерсона ― Кодацци, тогда существует и притом единственная (с точностью до движений) поверхность в R 3 {displaystyle mathbb {R} ^{3}} , для которой эти формы являются первой и второй квадратичными формами.
    • Эту теорему также доказал Петерсон в своей диссертации.

История

Уравнения впервые найдены Петерсоном в 1853, переоткрыты Майнарди и Кодацци(1867).


Имя:*
E-Mail:
Комментарий: