Гармоническая функция

Гармоническая функция — вещественная функция U {displaystyle U} , определенная и дважды непрерывно дифференцируемая на евклидовом пространстве D {displaystyle D} (или его открытом подмножестве), удовлетворяющая уравнению Лапласа:

Δ U = 0 ,   {displaystyle Delta U=0, }

где Δ = ∑ i = 1 n ∂ 2 ∂ x i 2 {displaystyle Delta =sum _{i=1}^{n}{frac {partial ^{2}}{partial x_{i}^{2}}}} — оператор Лапласа, то есть сумма вторых производных по всем прямоугольным декартовым координатам xi (n = dim D — размерность пространства).

Например, гармонической функцией является электростатический потенциал в точках, где отсутствует заряд.

Свойства

Принцип максимума

Функция U, гармоническая в области D {displaystyle D} , достигает своего максимума и минимума только на границе ∂ D {displaystyle partial D} . Таким образом, гармоническая функция не может иметь во внутренней точке области локального экстремума, за исключением тривиального случая постоянной в D {displaystyle D} функции. Однако функция может быть неопределена на границе, поэтому правильнее сказать ∀ m ∈ D inf Q ∈ D U ( Q ) < U ( m ) < sup Q ∈ D U ( Q ) {displaystyle forall min Dinf _{Qin D}U(Q)<U(m)<sup _{Qin D}U(Q)}

Теорема Лиувилля

Гармоническая функция, определённая на R n {displaystyle mathbb {R} ^{n}} и ограниченная сверху или снизу, постоянна.

Свойство среднего

Если функция u {displaystyle u} гармонична в некотором шаре B ( x 0 ) {displaystyle B(x_{0})} с центром в точке x 0 {displaystyle x_{0}} , то её значение в точке x 0 {displaystyle x_{0}} равно её среднему значению по границе этого шара или по шару:

u ( x 0 ) = 1 μ ( ∂ B ) ∫ ∂ B u d S = 1 μ ( B ) ∫ B u d V {displaystyle u(x_{0})={frac {1}{mu (partial B)}}int limits _{partial B}udS={frac {1}{mu (B)}}int limits _{B}udV}

где μ ( B ) {displaystyle mu (B)} — объём шара B ( x 0 ) {displaystyle B(x_{0})} и μ ( ∂ B ) {displaystyle mu (partial B)} — площадь его границы.

Обратно, любая непрерывная функция, обладающая свойством среднего для всех шаров, лежащих в некоторой области, является в этой области гармонической.

Дифференцируемость

Функция, гармоническая в области, бесконечно дифференцируема в ней.

Неравенство Гарнака

Если функция U ( M ) = U ( x 1 , . . . x k ) {displaystyle U(M)=U(x_{1},...x_{k})} , гармоническая в к-мерном шаре Q r {displaystyle Q_{r}} радиуса R {displaystyle R} с центром в некоторой точке M 0 {displaystyle M_{0}} , неотрицательна в этом шаре, то для её значений в точках M {displaystyle M} внутри рассматриваемого шара справедливы неравенства: R k − 2 R − r ( R + r ) k − 1 U ( M 0 ) ≤ U ( M ) ≤ R k − 2 R + r ( R − r ) k − 1 U ( M 0 ) {displaystyle {{R^{k-2}}{frac {R-r}{(R+r)^{k-1}}}U(M_{0})}leq {U(M)}leq {R^{k-2}{frac {R+r}{(R-r)^{k-1}}}U(M_{0})}} , где r = ρ ( M 0 , M ) < R {displaystyle r= ho (M_{0},M)<R} .

Теорема Гарнака

Пусть v n ( z ) {displaystyle v_{n}(z)} — положительные гармонические функции в некоторой области D {displaystyle D} . Если ряд ∑ 1 ∞ v n ( z ) {displaystyle sum _{1}^{infty }v_{n}(z)} сходится хотя бы в одной точке области D {displaystyle D} , то он равномерно сходится внутри D {displaystyle D} .

Гармонические функции на комплексной плоскости

На комплексной плоскости гармонические функции h : C → R {displaystyle h:mathbb {C} o mathbb {R} } тесно связаны с голоморфными функциями. В частности выполняется следующее утверждение : для произвольной области D {displaystyle D} в C {displaystyle mathbb {C} } если f {displaystyle f} это голоморфная функция на D {displaystyle D} , то h = Re ⁡ ( f ) {displaystyle h=operatorname {Re} (f)} является гармонической функцией над D {displaystyle D} .

Выполняется также и обратное утверждение. Если h {displaystyle h} является гармонической функцией над односвязной областью D {displaystyle D} , то h = Re ⁡ ( f ) {displaystyle h=operatorname {Re} (f)} для уникальной, с точностью до константы, голоморфной над D {displaystyle D} функции f {displaystyle f} .