Главная
Новости
Строительство
Ремонт
Дизайн и интерьер
Полезные советы




29.12.2022


29.12.2022


23.12.2022


25.11.2022


08.11.2022


08.11.2022





Яндекс.Метрика





Связность Гаусса — Манина

04.12.2022

С расслоением, слои которого являются гладкими многообразиями (или гладкими алгебраическими многообразиями), можно связать некоторое расслоение с плоской связностью, называемой связностью Гаусса — Манина.

Определение

Пусть Y → X {displaystyle Y o X} — расслоение, слои которого Y x {displaystyle Y_{x}} — гладкие многообразия. Рассмотрим векторное расслоение E → X {displaystyle E o X} со слоями E x = H d R k ( Y x ) {displaystyle E_{x}=H_{mathrm {dR} }^{k}(Y_{x})} . Иными словами, повесим вместо каждого слоя его k {displaystyle k} -тые когомологии де Рама. По теореме Эресманна, гладкие расслоения локально тривиальны, так что в достаточно малой окрестности по базе можно отождествить слои друг с другом, и провозгласить гладкими сечениями E {displaystyle E} сечения, которые соответствуют гладким вариациям класса когомологий при тривиализации. Строго говоря, мы определили не расслоение, а только пучок, но это действительно будет пучок сечений расслоения.

Юрий Иванович Манин

Для простоты предположим на минутку, что слои компактны. Когомологии де Рама компактного многообразия изоморфны сингулярным когомологиям H k ( Y x , Z ) ⊗ R {displaystyle H^{k}(Y_{x},mathbb {Z} )otimes mathbb {R} } , таким образом, в каждом слое E x {displaystyle E_{x}} имеется решётка целочисленных когомологий, гладко зависящая от точки x {displaystyle x} . Связность Гаусса — Манина определяется как связность, относительно которой локальные сечения, в каждой точке принимающие значения в этой целочисленной решётке, являются плоскими.

Описание связности Гаусса — Манина через плоские сечения даёт удобный способ её визуализировать, однако для её существования наличие целочисленной структуры на когомологиях совершенно не необходимо. Она допускает следующее описание. Выберем в расслоении Y → X {displaystyle Y o X} связность Эресманна H ⊂ T Y {displaystyle Hsubset TY} . Если s ∈ Γ ( E ) {displaystyle sin Gamma (E)} — какое-то сечение, оно может быть реализовано набором замкнутых форм σ x ∈ Ω k ( Y x ) {displaystyle sigma _{x}in Omega ^{k}(Y_{x})} . Выбранная связность Эресманна позволяет продолжить его до единой формы σ ∈ Ω k ( Y ) {displaystyle sigma in Omega ^{k}(Y)} , доопределяя её на направлениях, трансверсальных слоям, условием ι h σ = 0 {displaystyle iota _{h}sigma =0} для всех h ∈ H {displaystyle hin H} . Заметим, что эта форма не обязана быть замкнутой. Определим связность Гаусса — Манина ∇ {displaystyle abla } таким образом: ( ∇ v s ) x = [ ( L i e v ~ σ ) | Y x ] ∈ H d R k ( Y x ) {displaystyle ( abla _{v}s)_{x}=left[left(mathrm {Lie} _{widetilde {v}}sigma ight)|_{Y_{x}} ight]in H_{mathrm {dR} }^{k}(Y_{x})} . Здесь v {displaystyle v} — произвольное векторное поле на базе, а v ~ {displaystyle {widetilde {v}}} — его поднятие при помощи связности Эресманна, то есть сечение H {displaystyle H} , при проекции на базу переходящее в v {displaystyle v} . Проверка того, что это хорошо определённая связность (то есть что такая производная Ли будет замкнута в ограничении на слои, и эта операция удовлетворяет тождеству Лейбница), не составляет труда; чуть сложнее показать, что она не зависит от выбора связности Эресманна.


Это определение связности Гаусса — Манина изящно формулируется в терминах дифференциально градуированных алгебр. Это позволяет перенести определение связности Гаусса — Манина в некоммутативную геометрию: Гетцлер, и Каледин построили связность Гаусса-Манина на периодических циклических гомологиях.

Применение

Связность Гаусса — Манина в первых когомологиях семейства эллиптических кривых с уравнениями x 3 + y 3 + z 3 = λ x y z {displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}=lambda xyz} над проколотой сферой Римана, параметризованной комплексным параметром λ {displaystyle lambda } , определяет дифференциальное уравнение, известное как уравнение Пикара — Фукса. Гаусс рассматривал аналогичное уравнение для семейства кривых y 2 = x ( x − 1 ) ( x − λ ) {displaystyle y^{2}=x(x-1)(x-lambda )} ; общее описание таких уравнений в случае, когда база является алгебраической кривой, было дано Маниным, а в общем случае Гротендиком. Ему принадлежит название «связность Гаусса — Манина», а также абстрактное алгебраико-геометрическое описание этой связности как одной из стрелок в спектральной последовательности Лере для подходящего пучка.

Владимир Арнольд

Связность Гаусса — Манина используется также в симплектической геометрии. Именно, пусть Y → X {displaystyle Y o X} — расслоение, слои которого лагранжевы торы. Касательное пространство к базе такого расслоения можно отождествить с некоторым подпространством в пространстве сечений нормального расслоения к слою, висящему над этой точкой. Но у лагранжева подмногообразия нормальное расслоение изоморфно кокасательному, так что эти сечения определяют дифференциальные 1-формы на слое. Оказывается, эти формы замкнуты, и их классы когомологий суть всевозможные классы первых когомологий слоя. Таким образом, касательное расслоение к базе лагранжева расслоения изоморфно расслоению первых когомологий слоёв, и, следовательно, имеет каноническую плоскую связность, связность Гаусса — Манина. В механике это утверждение имеет следствие, известное как теорема Лиувилля — Арнольда: у гамильтоновой системы, имеющей столько же независимых находящихся в инволюции интегралов, сколько степеней свободы, уравнения движения могут быть решены в квадратурах. Голоморфная версия теоремы Лиувилля — Арнольда определяет плоскую связность с монодромией S L ( 2 n , Z ) ⋉ R 2 n {displaystyle mathrm {SL} (2n,mathbb {Z} )ltimes mathbb {R} ^{2n}} вне некоторого дивизора на C P n {displaystyle mathbb {C} mathrm {P} ^{n}} , базе голоморфного лагранжева расслоения на гиперкэлеровом многообразии. Наиболее наглядный случай, когда тотальное пространство — K3-поверхность, слои — эллиптические кривые, а база — сфера Римана с 24 проколами, изучена Концевичем и Сойбельманом.


Имя:*
E-Mail:
Комментарий: