Длинная линия

Длинная линия — модель линии передачи, продольный размер (длина) которой превышает длину волны, распространяющейся в ней (либо сравнима с длиной волны), а поперечные размеры (например, расстояние между проводниками, образующими линию) значительно меньше длины волны.

С точки зрения теории электрических цепей длинная линия относится к четырёхполюсникам. Характерной особенностью длинной линии является проявление интерференции двух волн, распространяющихся навстречу друг другу. Одна из этих волн создается подключенным ко входу линии генератором электромагнитных колебаний и называется падающей. Другая волна называется отражённой и возникает из-за частичного отражения падающей волны от нагрузки, подключенной к выходу (противоположному генератору концу) линии. Всё разнообразие колебательных и волновых процессов, происходящих в длинной линии, определяется соотношениями амплитуд и фаз падающей и отраженной волн. Анализ процессов упрощается, если длинная линия является регулярной, то есть такой, у которой в продольном направлении неизменны поперечное сечение и электромагнитные свойства (εr, μr, σ) заполняющих сред.

Дифференциальные уравнения длинной линии

Первичные параметры

Из электродинамики известно, что линия передачи может быть охарактеризована её погонными параметрами:

R1 — погонное сопротивление металла проводов, Ом/м;
G1 — паразитная, параллельная(источник термина ) погонная(продольная, аддитивная) проводимость диэлектрика линии,1/Ом·м или См/м; ,- погонная вдоль линии, ортогонально токам утечки через диэлектрик, в противовес g[Cм·м] - проводимости погонной,приведённой к единице длины паразитного тока, текущего через диэлектрик линии(поперечно-погонной проводимости изолятора линии)!
L1 — погонная индуктивность Гн/м;
C1 — погонная ёмкость Ф/м;
Z 1 = R 1 + i ω L 1 {displaystyle Z_{1}=R_{1}+iomega L_{1}}
Y 1 = G 1 + i ω C 1 {displaystyle Y_{1}=G_{1}+iomega C_{1}}

Погонные сопротивление и проводимость G1 зависят от проводимости материала проводов и качества диэлектрика, окружающего эти провода, соответственно. Согласно закону Джоуля — Ленца, чем меньше тепловые потери в металле проводов и в диэлектрике, тем меньше погонное сопротивление металла R1 и меньше погонная проводимость диэлектрика G1. (Уменьшение активных потерь в диэлектрике означает увеличение его сопротивления, так как активные потери в диэлектрике — это токи утечки. Для модели используется обратная величина — погонная проводимость G1.)

Погонные индуктивность L1 и ёмкость C1 определяются формой и размерами поперечного сечения проводов, а также расстоянием между ними.

А Z 1 {displaystyle Z_{1}} и Y 1 {displaystyle Y_{1}} — погонные комплексные сопротивление и проводимость линии, зависящие от частоты ω {displaystyle omega } .

Выделим из линии элементарный участок бесконечно малой длины dz и рассмотрим его эквивалентную схему.

Эквивалентная схема участка длинной линии

Значения параметров схемы определяются соотношениями:

Используя эквивалентную схему, запишем выражения для приращений напряжения и тока:

{ d U = − I ( d R + i ω d L ) d I = − U ( d G + i ω d C ) {displaystyle {egin{cases}dU=-I(dR+iomega dL)dI=-U(dG+iomega dC)end{cases}}}

Подставляя сюда значения параметров схемы из (1), получаем:

{ d U = − I Z 1 d z d I = − U Y 1 d z {displaystyle {egin{cases}dU=-IZ_{1}dzdI=-UY_{1}dzend{cases}}}

Из последних соотношений находим дифференциальные уравнения линии. Эти уравнения определяют связь между током и напряжением в любом сечении линии и называются телеграфными уравнениями длинной линии:

Телеграфные уравнения

Следствия

Решим телеграфные уравнения относительно напряжения и тока. Для этого продифференцируем их по z:

При этом учтем условие регулярности линии:

Условие регулярности линии

Данные соотношения являются математическим определением регулярности длинной линии. Смысл соотношения (4) состоит в неизменности вдоль линии её погонных параметров.

Подставляя в (3) значения производных напряжения и тока из (2), после преобразований получаем:

Однородные волновые уравнения длинной линии

где γ = Z 1 Y 1 {displaystyle gamma ={sqrt {Z_{1}Y_{1}}}} — коэффициент распространения волны в линии.

Соотношения (5) называются однородными волновыми уравнениями длинной линии. Их решения известны и могут быть записаны в виде:

где AU, BU и AI, BI — коэффициенты, имеющие единицы измерения напряжения и тока соответственно, смысл которых будет ясен ниже.

Решения волновых уравнений в виде (6) имеют весьма характерный вид: первое слагаемое в этих решениях представляет собой отраженную волну напряжения или тока, распространяющуюся от нагрузки к генератору, второе слагаемое — падающую волну, распространяющуюся от генератора к нагрузке. Таким образом, коэффициенты AU, AI представляют собой комплексные амплитуды падающих волн напряжения и тока соответственно, а коэффициенты BU, BI — комплексные амплитуды отраженных волн напряжения и тока соответственно. Так как часть мощности, передаваемой по линии, может поглощаться в нагрузке, то амплитуды отраженных волн не должны превышать амплитуды падающих:

| B U | ⩽ | A U | {displaystyle |B_{U}|leqslant |A_{U}|} | B I | ⩽ | A I | {displaystyle |B_{I}|leqslant |A_{I}|}

Направление распространения волн в (6) определяется знаком в показателях степени экспонент: плюс — волна распространяется в отрицательном направлении оси z; минус — в положительном направлении оси z (см. рис. 1). Так, например, для падающих волн напряжения и тока можно записать:

Коэффициент распространения волны в линии γ в общем случае является комплексной величиной и может быть представлен в виде:

где α — коэффициент затухания волны в линии; β — коэффициент фазы. Тогда соотношение (7) можно переписать в виде:

Так как при распространении падающей волны на длину волны в линии λЛ фаза волны изменяется на 2π, то коэффициент фазы можно связать с длиной волны λЛ соотношением

При этом фазовая скорость волны в линии VФ определяется через коэффициент фазы:

Определим коэффициенты A и B, входящие в решения (6) волновых уравнений, через значения напряжения UН и тока IН на нагрузке. Это является оправданным, так как напряжение и ток на нагрузке практически всегда можно измерить с помощью измерительных приборов. Воспользуемся первым из телеграфных уравнений (2) и подставим в него напряжение и ток из (6). Тогда получим:

A U γ e − γ z − B U γ e γ z = Z 1 ( A I e − γ z + B I e γ z ) {displaystyle A_{U}gamma e^{-gamma z}-B_{U}gamma e^{gamma z}=Z_{1}(A_{I}e^{-gamma z}+B_{I}e^{gamma z})}

Сравнив коэффициенты при экспонентах с одинаковыми показателями степеней, получим:

где W = Z 1 Y 1 {displaystyle W={sqrt {frac {Z_{1}}{Y_{1}}}}} — волновое сопротивление линии.

Перепишем (6) с учётом (12):

Для определения коэффициентов A и B в этих уравнениях воспользуемся условиями в начале линии z = 0:

{ U ( z = 0 ) = U H I ( z = 0 ) = I H {displaystyle {egin{cases}U(z=0)=U_{H}I(z=0)=I_{H}end{cases}}} .

Тогда из (13) при z = 0 найдем

Подставив полученные значения коэффициентов из (14) в (13), после преобразований получим:

При выводе (15) учтены определения гиперболических синуса и косинуса.

Соотношения для напряжения и тока (15) так же, как и (6), являются решениями однородных волновых уравнений. Их отличие состоит в том, что напряжение и ток в линии в соотношении (6) определены через амплитуды падающей и отраженной волн, а в (15) — через напряжение и ток на нагрузке.

Рассмотрим простейший случай, когда напряжение и ток в линии определяются только падающей волной, а отраженная волна отсутствует. Тогда в (6) следует положить BU = 0, BI = 0:

{ U = A U e − α z e − i β z I = A I e − α z e − i β z {displaystyle {egin{cases}U=A_{U}e^{-alpha z}e^{-ieta z}I=A_{I}e^{-alpha z}e^{-ieta z}end{cases}}} .

Распределение поля падающей волны

На рис.3. представлены эпюры изменения амплитуды |U| и фазы φU напряжения вдоль линии. Эпюры изменения амплитуды и фазы тока имеют такой же вид. Из рассмотрения эпюр следует, что при отсутствии в линии потерь (α = 0) амплитуда напряжения в любом сечении линии остается одной и той же. При наличии потерь в линии (α > 0) часть переносимой мощности преобразуется в тепло (нагревание проводов линии и окружающего их диэлектрика). По этой причине амплитуда напряжения падающей волны экспоненциально убывает в направлении распространения.

Фаза напряжения падающей волны φU = β z изменяется по линейному закону и уменьшается по мере удаления от генератора.

Рассмотрим изменение амплитуды и фазы, например, напряжения при наличии падающей и отраженной волн. Для упрощения положим, что потери в линии отсутствуют, то есть α = 0. Тогда напряжение в линии можно представить в виде:

где Γ = B U / A U {displaystyle Gamma =B_{U}/A_{U}} — комплексный коэффициент отражения по напряжению.

Комплексный коэффициент отражения по напряжению

Характеризует степень согласования линии передачи с нагрузкой. Модуль коэффициента отражения изменяется в пределах: 0 ⩽ | Γ | ⩽ 1 {displaystyle 0leqslant |Gamma |leqslant 1}

| Г | = 0, если отражения от нагрузки отсутствуют и BU = 0;
| Г | = 1, если волна полностью отражается от нагрузки, то есть | A U | = | B U | {displaystyle |A_{U}|=|B_{U}|} ;

Соотношение (16) представляет собой сумму падающей и отраженной волн.

Отобразим напряжение на комплексной плоскости в виде векторной диаграммы, каждый из векторов которой определяет падающую, отраженную волны и результирующее напряжение (рис. 4). Из диаграммы видно, что существуют такие поперечные сечения линии, в которых падающая и отраженная волны складываются в фазе. Напряжение в этих сечениях достигает максимума, величина которого равна сумме амплитуд падающей и отраженной волн:

U m a x = | A U | + | B U | {displaystyle U_{max}=|A_{U}|+|B_{U}|} .

Кроме того, существуют такие поперечные сечения линии, в которых падающая и отраженная волны складываются в противофазе. При этом напряжение достигает минимума:

U m i n = | A U | − | B U | {displaystyle U_{min}=|A_{U}|-|B_{U}|} .

Если линия нагружена на сопротивление, для которого |Г| = 1, то есть амплитуда падающей и отраженной волн равны |BU| = |AU|, то в этом случае Umax = 2|AU|, а Umin = 0.

Напряжение в такой линии изменяется от нуля до удвоенной амплитуды падающей волны. На рис. 5 представлены эпюры изменения амплитуды и фазы напряжения вдоль линии при наличии отраженной волны.

Коэффициенты бегущей и стоячей волны

По эпюре напряжения судят о степени согласования линии с нагрузкой. Для этого вводятся понятия коэффициента бегущей волны — kБВ и коэффициента стоячей волны kСВ:

Эти коэффициенты, судя по определению, изменяются в пределах:

На практике наиболее часто используется понятие коэффициента стоячей волны, так как современные измерительные приборы (панорамные измерители kСВ) на индикаторных устройствах отображают изменение именно этой величины в определенной полосе частот.

Входное сопротивление длинной линии

Входное сопротивление линии является важной характеристикой, которое определяется в каждом сечении линии как отношение напряжения к току в этом сечении:

Так как напряжение и ток в линии изменяются от сечения к сечению, то и входное сопротивление линии изменяется относительно её продольной координаты z. При этом говорят о трансформирующих свойствах линии, а саму линию рассматривают как трансформатор сопротивлений. Подробнее свойство линии трансформировать сопротивления будет рассмотрено ниже.

Режимы работы длинной линии

Различают три режима работы линии:

режим бегущей волны;

режим стоячей волны;

режим смешанных волн.

Режим бегущей волны

Режим бегущей волны характеризуется наличием только падающей волны, распространяющейся от генератора к нагрузке. Отраженная волна отсутствует. Мощность, переносимая падающей волной, полностью выделяется в нагрузке. В этом режиме BU = 0, | Г | = 0, kсв = kбв = 1.

Режим стоячей волны

Режим стоячей волны характеризуется тем, что амплитуда отраженной волны равна амплитуде падающей BU = AU то есть энергия падающей волны полностью отражается от нагрузки и возвращается обратно в генератор. В этом режиме, | Г | = 1, kсв = ∞ {displaystyle infty } , kбв = 0.

Режим смешанных волн

В режиме смешанных волн амплитуда отраженной волны удовлетворяет условию 0 < BU < AU то есть часть мощности падающей волны теряется в нагрузке, а остальная часть в виде отраженной волны возвращается обратно в генератор. При этом 0 < | Г | < 1, 1 < kсв < ∞ {displaystyle infty } , 0 < kбв < 1

Линия без потерь

В линии без потерь погонные параметры R1 = 0 и G1 = 0. Поэтому для коэффициента распространения γ и волнового сопротивления W получим:

С учётом этого выражения для напряжения и тока (15) примут вид:

При выводе этих соотношений учтены особенности гиперболических функций.

Рассмотрим конкретные примеры работы линии без потерь на простейшие нагрузки.

Разомкнутая линия

Рис.6. Эпюры напряжения, тока и входного сопротивления в открытой (разомкнутой) линии

В этом случае ток, протекающий через нагрузку равен нулю (IН = 0), поэтому выражения для напряжения, тока и входного сопротивления в линии принимают вид:

На рис.6 эти зависимости проиллюстрированы графически. Из соотношений (22) и графиков следует:

в линии, разомкнутой на конце, устанавливается режим стоячей волны, напряжение, ток и входное сопротивление вдоль линии изменяются по периодическому закону с периодом λЛ/2;
входное сопротивление разомкнутой линии является чисто мнимым за исключением точек с координатами z = nλЛ/4, n = 0,1,2,…;
если длина разомкнутой линии меньше λЛ/4, то такая линия эквивалентна ёмкости;
разомкнутая на конце линия длиной λЛ/4 эквивалентна последовательному резонансному на рассматриваемой частоте контуру и имеет нулевое входное сопротивление;
линия, длина которой лежит в интервале от λЛ/4 до λЛ/2, эквивалентна индуктивности;
разомкнутая на конце линия длиной λЛ/2 эквивалентна параллельному резонансному контуру на рассматриваемой частоте и имеет бесконечно большое входное сопротивление.

Замкнутая линия

Рис.7. Эпюры напряжений, тока и входного сопротивления в короткозамкнутой линии

В этом случае напряжение на нагрузке равно нулю (UН = 0), поэтому напряжение, ток и входное сопротивление в линии принимают вид:

На рис.7 эти зависимости проиллюстрированы графически.

Используя результаты предыдущего раздела, нетрудно самостоятельно сделать выводы о трансформирующих свойствах короткозамкнутой линии. Отметим лишь, что в замкнутой линии также устанавливается режим стоячей волны. Отрезок короткозамкнутой линии, длиной меньше λЛ/4 имеет индуктивный характер входного сопротивления, а при длине λЛ/4 такая линия имеет бесконечно большое входное сопротивление на рабочей частоте.

Ёмкостная нагрузка

Рис.8. Эпюры напряжения, тока и входного сопротивления в линии, нагруженной на ёмкость

Как следует из анализа работы разомкнутой линии, каждой ёмкости C на данной частоте ω можно поставить в соответствие отрезок разомкнутой линии длиной меньше λЛ/4. Ёмкость C имеет ёмкостное сопротивление i X C = − i ω C {displaystyle iX_{C}=-{ frac {i}{omega C}}} . Приравняем величину этого сопротивления к входному сопротивлению разомкнутой линии длиной l < λЛ/4:

− i ω C = − i W ctg ⁡ ( β l ) {displaystyle -{ frac {i}{omega C}}=-iWoperatorname {ctg} (eta l)} .

Отсюда находим длину линии, эквивалентную по входному сопротивлению ёмкости C:

l = 1 β arctg ⁡ ( ω C W ) {displaystyle l={ frac {1}{eta }}operatorname {arctg} (omega CW)} .

Зная эпюры напряжения, тока и входного сопротивления разомкнутой линии, восстанавливаем их для линии, работающей на ёмкость (рис.8). Из эпюр следует, что в линии, работающей на ёмкость, устанавливается режим стоячей волны.

При изменений ёмкости эпюры сдвигаются вдоль оси z. В частности, при увеличении ёмкости ёмкостное сопротивление уменьшается, напряжение на ёмкости падает и все эпюры сдвигаются вправо, приближаясь к эпюрам, соответствующим короткозамкнутой линии. При уменьшении ёмкости эпюры сдвигаются влево, приближаясь к эпюрам, соответствующим разомкнутой линии.

Индуктивная нагрузка

Рис.9. Эпюры напряжения, тока и входного сопротивления в линии, работающей на индуктивность

Как следует из анализа работы замкнутой линии, каждой индуктивности L на данной частоте ω можно поставить в соответствие отрезок замкнутой линии длиной меньше λЛ/4. Индуктивность L имеет индуктивное сопротивление iXЛ = iωL. Приравняем это сопротивление к входному сопротивлению замкнутой линии длиной λЛ/4:

i ω L = i W tg ⁡ ( β l ) {displaystyle iomega L=iWoperatorname {tg} (eta l)} .

Отсюда находим длину линии l, эквивалентную по входному сопротивлению индуктивности L:

l = 1 β arctg ⁡ ( ω L W ) {displaystyle l={ frac {1}{eta }}operatorname {arctg} (omega { frac {L}{W}})} .

Зная эпюры напряжения, тока и входного сопротивления замкнутой на конце линии, восстанавливаем их для линии, работающей на индуктивность (рис. 9). Из эпюр следует, что в линии, работающей на индуктивность, также устанавливается режим стоячей волны. Изменение индуктивности приводит к сдвигу эпюр вдоль оси z. Причем с увеличением L эпюры сдвигаются вправо, приближаясь к эпюрам холостого хода, а с уменьшением L — влево по оси z, стремясь к эпюрам короткого замыкания.

Активная нагрузка

В этом случае ток и напряжение на нагрузке RН связаны соотношением UН = IНRН. Выражения для напряжения и тока в линии (21) принимают вид:

Рассмотрим работу такой линии на примере анализа напряжения. Найдем из (23) амплитуду напряжения в линии:

Отсюда следует, что можно выделить три случая:

Сопротивление нагрузки равно волновому сопротивлению линии RН = W ;
Сопротивление нагрузки больше волнового сопротивления линии RН > W;
Сопротивление нагрузки меньше волнового сопротивления линии RН < W.

В первом случае из (24) следует |U| = UН, то есть распределение амплитуды напряжения вдоль линии остается постоянным, равным амплитуде напряжения на нагрузке. Это соответствует режиму бегущей волны в линии.