Система корней

Система корней (корневая система) в математике — конфигурация векторов в евклидовом пространстве, удовлетворяющая определённым геометрическим свойствам.

Эта концепция является фундаментальной в теории групп Ли и алгебр Ли. Диаграммы Коксетера — Дынкина, использующиеся при классификации систем корней, встречается в разделах математики, не связанных явно с группами Ли, например, в теории сингулярностей.

Определение

Пусть V {displaystyle V} — конечномерное евклидово пространство с обычным скалярным произведением, обозначаемым ( ⋅ , ⋅ ) {displaystyle (cdot ,;cdot )} . Система корней в V {displaystyle V} — это конечное множество Φ {displaystyle Phi } ненулевых векторов (называемых корнями), которые удовлетворяют следующим свойствам.

Целостное условие для ⟨ α , β ⟩ {displaystyle scriptstyle {langle alpha ,;eta angle }} заставляет β {displaystyle scriptstyle eta } лежать на одной из вертикальных прямых. Комбинирование этого условия с целостным условием для ⟨ α , β ⟩ {displaystyle scriptstyle {langle alpha ,;eta angle }} сводит возможные углы между α {displaystyle scriptstyle alpha } и β {displaystyle scriptstyle eta } не более чем к двум, для каждой из вертикальных прямых.

V {displaystyle V} является линейной оболочкой системы корней.

Если два корня α ∈ Φ {displaystyle alpha in Phi } , β ∈ Φ {displaystyle eta in Phi } являются коллинеарными векторами, то либо они совпадают, либо β = − α . {displaystyle eta =-alpha .}

Для каждого корня α ∈ Φ {displaystyle alpha in Phi } множество Φ {displaystyle Phi } замкнуто относительно отражения в гиперплоскости, перпендикулярной α . {displaystyle alpha .} То есть для любых двух корней α {displaystyle alpha } и β {displaystyle eta } множество Φ {displaystyle Phi } содержит отражение β {displaystyle eta } σ α ( β ) = β − 2 ( α , β ) ( α , α ) α ∈ Φ . {displaystyle sigma _{alpha }(eta )=eta -2{frac {(alpha ,;eta )}{(alpha ,;alpha )}}alpha in Phi .}

(Целостное условие). Если α {displaystyle alpha } и β {displaystyle eta } — корни в Φ , {displaystyle Phi ,} то проекция β {displaystyle eta } на прямую, проходящую через α , {displaystyle alpha ,} есть полуцелое, кратное α . {displaystyle alpha .} То есть ⟨ β , α ⟩ = 2 ( α , β ) ( α , α ) ∈ Z . {displaystyle langle eta ,;alpha angle =2{frac {(alpha ,;eta )}{(alpha ,;alpha )}}in mathbb {Z} .}

Замечания

• С учётом свойства 3 целостное условие эквивалентно утверждению, что разность между β {displaystyle eta } и его отражением σ α ( β ) {displaystyle sigma _{alpha }(eta )} равна корню α {displaystyle alpha } , умноженному на некоторое целое число.
• Оператор ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ : Φ × Φ → Z {displaystyle langle cdot ,;cdot angle colon Phi imes Phi o mathbb {Z} } ,

определённый свойством 4, не является внутренним произведением. Он, вообще говоря, не симметричен и линеен только по первому аргументу.

Размерность V {displaystyle V} называют рангом системы корней.

Классификация систем корней по схемам Дынкина

Примеры систем корней ранга 1 и ранга 2

Существует только одна система корней ранга 1. Она состоит из двух ненулевых векторов { α , − α } . {displaystyle {alpha ,;-alpha }.} Эта система называется A 1 . {displaystyle A_{1}.}

В ранге 2 существуют четыре возможных варианта σ α ( β ) = β + n α , {displaystyle sigma _{alpha }(eta )=eta +nalpha ,} где n = 0 , 1 , 2 , 3. {displaystyle n=0,;1,;2,;3.}