Оболочка Мандельброта

Изображение множества, полученное трассировкой лучей

Оболочка Мандельброта — трёхмерный фрактал, аналог множества Мандельброта, созданный Дэниелом Уайтом и Полом Ниландером с использованием гиперкомплексной алгебры, основанной на сферических координатах. Назван в честь создателя фрактальной геометрии Бенуа Мандельброта.

Формула для n-й степени трёхмерного гиперкомплексного числа ⟨ x , y , z ⟩ {displaystyle langle x,y,z angle } следующая:

⟨ x , y , z ⟩ n = r n ⟨ cos ⁡ ( n θ ) cos ⁡ ( n ϕ ) , sin ⁡ ( n θ ) cos ⁡ ( n ϕ ) , sin ⁡ ( n ϕ ) ⟩ , {displaystyle langle x,y,z angle ^{n}=r^{n}langle cos(n heta )cos(nphi ),sin(n heta )cos(nphi ),sin(nphi ) angle ,}

где

r = x 2 + y 2 + z 2 , θ = arctan ⁡ ( y / x ) , ϕ = arctan ⁡ ( z / x 2 + y 2 ) = arcsin ⁡ ( z / r ) . {displaystyle {egin{aligned}r&={sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}, heta &=arctan(y/x),phi &=arctan left(z/{sqrt {x^{2}+y^{2}}} ight)=arcsin(z/r).end{aligned}}}

Была использована итерация z ↦ z n + c {displaystyle zmapsto z^{n}+c} , где z и c — трёхмерные гиперкомплексные числа, на которых операция возведения в натуральную степень выполняется так, как это указано выше. Для n > 3 результатом является трёхмерный фрактал. Чаще всего используется восьмая степень.